Главная ->  Логарифмическое определение устойчивости 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 [ 155 ] 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254

S 15.5] СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМАХ 469

Найдем периодический режим на выходе. В соответствии с (15.180), учитывая, что Ф (z) имеет единственный полюс z = О, имеем

23+1

(1 + .+.)(.-.а)+.(.з + 1) 1+а+(1-а) z-4(l- )

Отсюда следует, что в установившемся периодическом режиме на выходе, если совместить начало положительного полупериода с началом отсчета, будет у [0] = 1 + а, у [1] = у [2] = I ~ а. В следующем полупериоде будетг/[3] = -у[0] = -(1 + а),уШ = г/[5] = -у[1] = -(1 -й)ит.д.

§ 15.5. Случайные процессы в импульсных системах

Введем понятие случайной решетчатой функции / [п], которую можно образовать из непрерывной случайной функции / (it) ее дискретизацией. В этом случае она будет определена в дискретные моменты времени t = пТ. Будем рассматривать стационарные процессы, когда вероятностные характеристики не зависят от времени.

Среднее значение решетчатого случайного стационарного процесса

ИЛИ на основании эргодического свойства

7м = М {/ [п]} = f[n]w{f [п]) df, (15.182)

где W (/ [п]) - одномерная плотность вероятности.

Для центрированных процессов среднее значение равно нулю. Введем понятие корреляционной функции

R[m] = lim- 2 f[n]f[n + ni]. (15.183)

Аналогично главе 11 можно сформулировать основные свойства корреляционной функции.

1. Для случая тп = О

2?[0]=im-2 2 f M = FM. (15.184)

2. При т = О корреляционная функция достигает наибольшего значения:

/? [0] > /? Ы. (15.185)

3. Корреляционная функция является четной:

R [~т] = R [т]. (15.186)

При наличии двух случайных процессов Д [п] и /2 [п] можно ввести понятие взаимной корреляционной функции

2?i2H]==lim-2 2 fi[n]h[n + m]. (15.187)



езшт-1-, =

ТО формула (15.192) может быть записана в виде

Свойства ее схожи со свойствами взаимной корреляционной функции для непрерывных процессов.

Введем понятие спектральной плотности случайного стационарного решетчатого процесса как двустороннего z-преобразования корреляционной функции

So{z) = TS{z) = T S R[m]z- = T[F{z) + F{z-i)-R{0)], (15.188)

7п=~О0

где Т - нормирующий множггтель, равный периоду дискретности, а F (z) представляет собой z-преобразование корреляционной функции R [т]. Нормирующий множитель Т введен в Sq (z) для того, чтобы сделать физическую размерность спектральной плотности дискретного случайного процесса равной размерности спектральной плотности непрерывного процесса и сохранить ее физический смысл. Однако это не обязательно.

Аналогично непрерывному случаю можно ввести понятие спектральной плотности как функции круговой частоты

S{(u) = S{e<T)= S R[m]e-JT (15.189)

7п= -оо

ИЛИ П23И учете четности

5(со) = Д[0] + 2 S R[m]cosamT. (15.190)

Наконец, можно определить спектральную плотность как функцию абсолютной псевдочастоты. Для этого в формуле (15.188) необходимо перейти к и;-нреобразованию, используя подстановку (15.163), а затем перейти

к псевдочастоте посредством подстановки w = /уЯ. В результате получим

S*{) = S()\ . (15.191)

Аналогичным образом может быть определена взаимная спектральная плотность двух процессов.

Заметим, что все приведенные формулы могут быть записаны и для случая е фО, тогда рассматривается случайная решетчатая функция f [п, е], корреляционная функция R [т, ej, спектральные плотности S (z, е), 6 (со, е) и S* {I, е).

Основное свойство спектральной плотности, как и в непрерывном случае, заключается в том, что интеграл от нее по всем частотам дает средний квадрат случайной величины. Можно показать [136], что в дискретном случае соответствующая формула имеет вид

я/т л/т

ТЫ= \ S{<)d(u = S{i>i)d(u. (15.192)

-л/т О

Так как mvieror место равенства



i t5.5]

СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМАХ

Выражение (15.193) обычно является более удобным для расчетов по сравнению с (15.192), так как позволяет использовать таблицы интегралов (см. приложение 2).

Типовые случайные стационарные процессы. Если для функции / (t), представляющей собой центрированную помеху, эффективное время корреляции

Л(0)

j R{x)dx

(15.194)

меньше периода дискретности, Дт <; Т, то такой процесс может быть представлен как дискретный белый шум с корреляционной функцией

R [т] = R (0) -бо [т], (15.195)

где R [0] = D - дисперсия, а бо Im] - единичная решетчатая импульсная функция (15.32), равная единице при m = О и равная нулю при пъ фО. Этому белому шуму соответствует спектральная плотность

5 (z) = 5 (со) = S* {X) = D. (15.196)

Если эффективное время корреляции Дт > Т, то корреляционная функция jR [т] может быть получена из соответствующей корреляционной функции непрерывного процесса R (т) заменой % = тТ. Спектральная плотность может быть получена использованием формул (15.188) - (15.191).

Таблица 15.2

Вид процесса

S(2)

Белый шум

Случайный процесс с ограниченной полосой

Нерегулярная качка

R (0) бо [т] =

= Ddo [т]

De °

D2zsb-

z2 -2zch-

zjz-dcosJT) Lz2 2zdcosJ3r--ii dzjdz -cos T) d2z2 -2zdcospr + lJ

D l + X2-jth

-th2

2Tr,

shich

i + sh

-sm2

sh2if+sm2- l--sh2i-sm2J

В табл. 15.2 приведены некоторые типовые дискретные стационарные случайные процессы.

Прохождение сигнала через линейную систему. Пусть на входе линейного звена с известной дискретной передаточной функцией W (z) действует случайная функция х [тг], для которой известны корреляционная функция Ri [т] и спектральная плотность (со) или S* {X). Тогда для выходной величины Xz [п], аналогично непрерывному случаю, можно найти спектральную плотность умножением спектральной плотности входного сигнала



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 [ 155 ] 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254