S 15.5] СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМАХ 469

Найдем периодический режим на выходе. В соответствии с (15.180), учитывая, что Ф (z) имеет единственный полюс z = О, имеем

23+1

(1 + .+.)(.-.а)+.(.з + 1) 1+а+(1-а) z-4(l- )

Отсюда следует, что в установившемся периодическом режиме на выходе, если совместить начало положительного полупериода с началом отсчета, будет у [0] = 1 + а, у [1] = у [2] = I ~ а. В следующем полупериоде будетг/[3] = -у[0] = -(1 + а),уШ = г/[5] = -у[1] = -(1 -й)ит.д.

§ 15.5. Случайные процессы в импульсных системах

Введем понятие случайной решетчатой функции / [п], которую можно образовать из непрерывной случайной функции / (it) ее дискретизацией. В этом случае она будет определена в дискретные моменты времени t = пТ. Будем рассматривать стационарные процессы, когда вероятностные характеристики не зависят от времени.

Среднее значение решетчатого случайного стационарного процесса

ИЛИ на основании эргодического свойства

7м = М {/ [п]} = f[n]w{f [п]) df, (15.182)

где W (/ [п]) - одномерная плотность вероятности.

Для центрированных процессов среднее значение равно нулю. Введем понятие корреляционной функции

R[m] = lim- 2 f[n]f[n + ni]. (15.183)

Аналогично главе 11 можно сформулировать основные свойства корреляционной функции.

1. Для случая тп = О

2?[0]=im-2 2 f M = FM. (15.184)

2. При т = О корреляционная функция достигает наибольшего значения:

/? [0] > /? Ы. (15.185)

3. Корреляционная функция является четной:

R [~т] = R [т]. (15.186)

При наличии двух случайных процессов Д [п] и /2 [п] можно ввести понятие взаимной корреляционной функции

2?i2H]==lim-2 2 fi[n]h[n + m]. (15.187)

езшт-1-, =

ТО формула (15.192) может быть записана в виде

Свойства ее схожи со свойствами взаимной корреляционной функции для непрерывных процессов.

Введем понятие спектральной плотности случайного стационарного решетчатого процесса как двустороннего z-преобразования корреляционной функции

So{z) = TS{z) = T S R[m]z- = T[F{z) + F{z-i)-R{0)], (15.188)

7п=~О0

где Т - нормирующий множггтель, равный периоду дискретности, а F (z) представляет собой z-преобразование корреляционной функции R [т]. Нормирующий множитель Т введен в Sq (z) для того, чтобы сделать физическую размерность спектральной плотности дискретного случайного процесса равной размерности спектральной плотности непрерывного процесса и сохранить ее физический смысл. Однако это не обязательно.

Аналогично непрерывному случаю можно ввести понятие спектральной плотности как функции круговой частоты

S{(u) = S{e<T)= S R[m]e-JT (15.189)

7п= -оо

ИЛИ П23И учете четности

5(со) = Д[0] + 2 S R[m]cosamT. (15.190)

Наконец, можно определить спектральную плотность как функцию абсолютной псевдочастоты. Для этого в формуле (15.188) необходимо перейти к и;-нреобразованию, используя подстановку (15.163), а затем перейти

к псевдочастоте посредством подстановки w = /уЯ. В результате получим

S*{) = S()\ . (15.191)

Аналогичным образом может быть определена взаимная спектральная плотность двух процессов.

Заметим, что все приведенные формулы могут быть записаны и для случая е фО, тогда рассматривается случайная решетчатая функция f [п, е], корреляционная функция R [т, ej, спектральные плотности S (z, е), 6 (со, е) и S* {I, е).

Основное свойство спектральной плотности, как и в непрерывном случае, заключается в том, что интеграл от нее по всем частотам дает средний квадрат случайной величины. Можно показать [136], что в дискретном случае соответствующая формула имеет вид

я/т л/т

ТЫ= \ S{<)d(u = S{i>i)d(u. (15.192)

-л/т О

Так как mvieror место равенства

i t5.5]

СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМАХ

Выражение (15.193) обычно является более удобным для расчетов по сравнению с (15.192), так как позволяет использовать таблицы интегралов (см. приложение 2).

Типовые случайные стационарные процессы. Если для функции / (t), представляющей собой центрированную помеху, эффективное время корреляции

Л(0)

j R{x)dx

(15.194)

меньше периода дискретности, Дт <; Т, то такой процесс может быть представлен как дискретный белый шум с корреляционной функцией

R [т] = R (0) -бо [т], (15.195)

где R [0] = D - дисперсия, а бо Im] - единичная решетчатая импульсная функция (15.32), равная единице при m = О и равная нулю при пъ фО. Этому белому шуму соответствует спектральная плотность

5 (z) = 5 (со) = S* {X) = D. (15.196)

Если эффективное время корреляции Дт > Т, то корреляционная функция jR [т] может быть получена из соответствующей корреляционной функции непрерывного процесса R (т) заменой % = тТ. Спектральная плотность может быть получена использованием формул (15.188) - (15.191).

Таблица 15.2

Вид процесса

S(2)

Белый шум

Случайный процесс с ограниченной полосой

Нерегулярная качка

R (0) бо [т] =

= Ddo [т]

De °

D2zsb-

z2 -2zch-

zjz-dcosJT) Lz2 2zdcosJ3r--ii dzjdz -cos T) d2z2 -2zdcospr + lJ

D l + X2-jth

-th2

2Tr,

shich

i + sh

-sm2

sh2if+sm2- l--sh2i-sm2J

В табл. 15.2 приведены некоторые типовые дискретные стационарные случайные процессы.

Прохождение сигнала через линейную систему. Пусть на входе линейного звена с известной дискретной передаточной функцией W (z) действует случайная функция х [тг], для которой известны корреляционная функция Ri [т] и спектральная плотность (со) или S* {X). Тогда для выходной величины Xz [п], аналогично непрерывному случаю, можно найти спектральную плотность умножением спектральной плотности входного сигнала