3.2]

О ЗАПИСИ ЛИНЕАРИЗОВАННЫХ УРАВНЕНИЙ ЗВЕНЬЕВ

передаточные функции (3.15) и (3.16). Поэтому вместо дифференциального уравнения (3.17), куда входят функции времени Ах {t), Ах (t), Axg (t) и fi {t), можно написать при нулевых начальных условиях уравнение для изображений в виде, совпадающем, но форме с (3.17):

ДХз {S) = {s) АХ {s) + is) ДХа is) + Wf {s) F, (s), (3.19)

или в развернутом виде:

лу(\ jAXi (s) АХ2(я) hPi (s) (32G\

B\ двух последних выражениях фигурируют не функции времени, а их изображения: АХ (s), АХ (s), AXg (s) и F (s), где s = с + / > - комплексная величина.

В изображениях Лапласа и Карсона - Хевисайда комплексная величина часто обозначается той же буквой р, что и оператор дифференцирования, причем р = с -{- ja. В этом случае уравнение (3.19) будет иметь вид

ДХз (р) = {р) АХ (р) + W, (рГАХ, {р) + (р) (р). (3.21)

Здесь, как и в уравнении (3.19), фигурируют изображения функций ДХ (р), ДХа {р), АХ, (р) и (р).

В дальнейшем будет употребляться символ дифференцирования Р =

.для символической записи дифференциальных уравнений, куда входят функции времени Ах (t), Ах {t) и т. д., комплексная величина р == с -\-для записи уравнений с изображениями функций времени по Лапласу или Карсону - Хевисайду Д Х (р), ДХг {р) и т. д. Запись передаточных функций звена и в том и в другом случае сливается в одну: {р), {р) и т. д. Однако в передаточных функциях буква р будет означать символ дифференцирова-

Рис. 3.4.

ния Р = или комплексную

величину р = с -\- ](а в зависимости от того, рассматриваются ли функции времени или их изображения.

Понятие передаточной функции весьма удобно при анали--зе так называемых структурных схем. Так-, например, звено, изображенное на рис. 3.1, после линеаризации, которая была проделана в предыдущем параграфе, можно представить в виде структурной схемы, показанной на рис. 3.4. Передаточные функции звеньев или отдельных участков схемы позволяют легко получить общее уравнение всей системы в виде (3.13) или (3.20), а в дальнейшем в случае необходимости перейти к исходному дифференциальному уравнению вида (3.9). Подобным же образом могут быть получены передаточные функции и структурные схемы и для других дифференциальных уравнений звеньев, например для рассмотренного выше уравнения(3.10). Подроб-яее этот вопрос изложен в § 5.4

ГЛАВА .4

ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗВЕНЬЯ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ

§ 4.1. Общие понятия

Как уже было сказано, для расчета различных систем автоматического регулирования они обычно разбиваются на динамические звенья. Под динамическим звеном понимают устройство любого физического вида и конструктивного оформления, но описываемое определенным дифференциальным уравнением.

В соответствии с этим классификация звеньев производится именно по виду дифференциального уравнения. Одним и тем же уравнением могут

описываться весьма разнообразные устройства (ме-f{t) ханические, гидравлические, электрические и т. д.).

Для теории автоматического регулирования это будет один и тот же тип звена. Конкретные же элементы автоматических систем, их теория, конструкция и расчеты излагаются в соответствующих учебниках и руководствах. . Рис. 4.1. Обозначим входную величину звена через Хи

а выходную через (рис. 4.1). Возмущение, действующее на звено, в соответствии с изложенным вьппе обозначим / (f).

Статическая характеристика любого звена может быть изображена прямой линией (рис. 4.2), так как пока будут рассматриваться линей- ные или, точнее, линеаризованные системы.

В звеньях позиционного, или статического, типа линейной зависимостью 2 = кх связаны выходная и входная величины в установившемся peжимe (рис. 4.2, а). Коэффициент пропорциональности к между выходной и входной величинами представляет собой коэффициент передачи звена.

В звеньях интегрирующего типа линейной зависимостью =

связаны производная выходной величины и входная величина в установившемся режиме (рис. 4.2, б). В этом случае для установившегося режима будет

справедливым равенство х = к х dt, откуда и произошло название этого-

типа звеньев. Коэффициент пропорциональности к в этом случае также является коэффициентом передачи звена. Если входная и выходная величины звена имеют одинаковую размерность, то коэффициенту передачи соответствует размерность [секЧ.

В звеньях дифференцирующего типа линейной зависимостью х = к

связаны в установившемся режиме выходная величина и производная входной (рис. 4.2, е), откуда и произошло название этого типа звеньев. Коэффициент пропорциональности к является коэффициентом передачи звена. Если входная и выходная величины имеют одинаковую размерность, то коэффициенту передачи соответствует размерность [сек].

§ 4.1]

ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ

Классификация звеньев, как уже отмечалось, производится по виду дифференциального уравнения или, что то же, но виду передаточной функции звена. Предположим, что звено, изображенное на рис. 4.1, описывается дифференциальным уравнением, представленным в стандартной форме:

При нулевых начальных условиях, т. е. в том случае, если для г < О входная и выходная величины, а также их производные тождественно равны

Рис. 4.2.

нулю, и при отсутствии вненшего возмущения (/ {t) = 0) может бьггь найдена передаточная функция звена как отношение изображений по Лапласу (или Карсону) выходной и входной величин:

W{p) =

Х2 (Р)

h+hP

kid + TsP)

Xi(P) i+TiP+Пр i+TiP+Пр

где ki - коэффициент передачи звена, = jr - постоянная времени.

При известной передаточной функции выходная величина (точнее ее изображение но Лапласу или но Карсону) может находиться из выражения

X,{p) = W (р) X, (р).

Аналогичным образом может быть найдена передаточная функция звена по возмущению, если положить при нулевых начальных условиях входное-воздействие равным нулю {х = 0). Тогда искомая передаточная функция будет равна отношению изображений выходной величины и внешнего возмущения:

(4.1)

i+TiP+Пр

(4.2)

В дальнейшем изложении для характеристики звена будет использоваться в основном передаточная функция, так как именно она дает связь между входной и выходной величинами, что необходимо знать при использовании того или иного звена в автоматической системе.

В соответствии с этим в табл. 4.1 приведены передаточные функции десяти разновидностей так называемых типовых динамических звеньев. Под типовым звеном понимается такое звено, которое описывается дифференциальным уравнением не вьппе второго порядка. Характеристики типовых звеньев рассматриваются более подробно ниже.

В табл. 4.1 не приводятся сведения о большой группе так называемых корректирующих звеньев, используемых для улучшения динамических качеств автоматических систем. Эти звенья будут рассмотрены в главе 10.