Кроме этих осредпенных характеристик х (t) п D {t), которые для каждого данного момента времени являются средними по множеству, введем понятие среднего значения случайной величины х для отдельной реализации случайного процесса х (t), которое определяется из выражения

:г;=Ит4г ( x{t)dt. (11.38)

Переход к пределу здесь необходим для того, чтобы характеризовать не какой-нибудь отдельный участок кривой, а всю возможную кривую х {t) в целом.

Для того чтобы знать связь между возможньши значениями случайной функции X (t) в последующие моменты времени со значениями в предыдущие моменты, вводится понятие двумерной плотности вероятности

2 (xi, ti; Xz, h) {wz > 0),

смысл которого можно пояснить следующим образом. Вероятность того, что в момент времени ti величина х находится в интервале {х, х -{- dxj), а в момент времени tz - в интервале (х, х- -Ь йж), будет (х, 1, х, 4) dx±dx2. Это есть вероятность того, что кривая х (t) пройдет вблизи двух заданных точек {х, tj) и {х, t). Вводится также и ?г-мерная плотность вероятности

tn).

Если ее умножить на dx, dx, . . ., dx, то это будет вероятность того, что кривая пройдет вблизи заданных п точек.

Случайный процесс полностью определяется видом функций w, Wz, Ws, . . ., Wn VL связью между ними.

Простейшим типом случайного процесса является чисто случайный процесс. В таком процессе все значения случайной величины в отдельные моменты времени {xi в момент U; Х2 в момент tz и т. д.) не зависят друг от друга. Тогда появления значений {х, ti), (х, t, {х, t) и т. д. будут независимьши случайными событиями, для которых вероятность их совместного наступления равна, как известно, произведению вероятностей наступления каждого из них в отдельности. Следовательно, для чисто случайного процесса

и>2 {xi, ti; Х2, h) = w (xi, i) w {x2, h) (11.39)

и вообще

Wn (xi, ti; X2, h; . . .; x , t) = w {xi, t) w [x, h); . . .; w [x, t). (11.40)

Это - самые простые соотношения в теории случайных процессов. Они могут применяться для характеристики некоторых видов помех (чисто случайные хаотические помехи).

Для характеристики полезных входных сигналов систем регулирования и следящих систем соотношения (11.39) и (11.40) практически не могут применяться, так как для этих сигналов ход процесса в последующие моменты времени в какой-то степени зависит от того, что было в предыдущие моменты времени.

Так, например, если речь идет о слежении за самолетом, то он не может как угодно быстро менять свое положение и скорость. Поэтому если он в момент времени ji занял положение Xi, то этим самьш его возможное положение Х2 В следующий момент ограничено, т. е. события (х, h) и {х, ti) не будут независимыми. Чем более инерционен изучаемый объект, тем больше эта взаимозависимость, или корреляция. В таких случаях вместо формулы (11.39) необходимо записать

и>2 {xi, ti; Xz, = w {xi, ti) W2,i {X2, h), (11.41).

случайный процесс в какой-то мере ана-1 логичен обычным стационарным или уста-

£f повившимся процессам в автоматических

системах. Например, при рассмотрении Рис. 11.13. обьганых установившихся периодических

колебаний ничего не изменится, если перенести начало отсчета на какую-нибудь величину. При этом сохранят свои значения такие характеристики, как частота, амплитуда, среднеквадратичное значение и т. п.

В стационарном случайном процессе закон распределения один и тот же для каждого момента времени, т. е. плотность вероятности не зависит от времени: w {х, t) == w (х).

Отсюда получаем х = const и о = const вдоль всего случайного процесса. Следовательно, в стационарном случайном процессе средняя линия, в отличие от общего случая (см. рис. 11.12), будет прямая х = const (рис. 11.13), лодобно постоянному смещению средней линии обычных периодических

где w, 1 (2, h) dx - условная вероятность того, что случайный процесс пройдет вблизи точки (жа, fg), если он уже прошел через точку (ж, f). Следовательно, зная плотности вероятности w (ж, Q и {х, ti, х, Q, можно найти также и условную плотность вероятности

г2,1(2, 2)- -. (11.42)

Кроме того, имеет место следующая связь между основными плотностями вероятности:

w{xi, ti)= j 2(1,1; 2,2) 2, (11.43)

так как w (х, tj) ecii плотность вероятности случайной величины (ж, ti) безотносительно к тому, какое потом будет значение (х, t), т. е. допускается -оо <С 2 < + оо. Аналогичньш образом любая плотность вероятности низшего порядка всегда может быть получена из высшей, т. е. высшие плотности вероятностей содержат наибольшее количество информации о случайном процессе (о взаимосвязях между возможными значениями случайной величины X в различные моменты времени).

Написанные соотношения справедливы для случайных процессов любьпс типов. В зависимости же от того, до какого порядка принимаются во внимание плотности вероятности, а также от разных дополнительных гипотез о формах связи между Wi, щ, . . ., Wn рассматриваются разные типы случайных процессов в отличие от чисто случайных.

Другая классификация всех случайных процессов состоит в разделении их на стационарные и нестационарные. Теория стационарных случайных процессов наиболее разработана и чаще всего применяется на практике.

§ 11.3. Стационарные случайные процессы

Стационарным случайным процессом называется такой процесс, вероятностные характеристики которого не зависят от времени. Все плотности вероятностей Wi, w, . - ., Wn не меняются при любом сдвиге рассматриваемого участ-з * /S *-О* ка процесса во времени, т. е. при сохра-~ х>Р=:Ь;/ нении постоянной разности.

Можно сказать, что стационарный

колебаний. Рассеяние значений переменной х в стационарном случайном процессе, определяемое о = const, также будет все время одинаковым, подобно постоянному значению среднеквадратичного отклонения обычных установившихся колебаний от средней линии.

Аналогичньш образом и двумерная плотность вероятности также будет одна и та же для одного и того же промежутка времени т = 2 - между любьши ti и tz (рис. 11.13), т. е.

Wz (xi, ti; Xz, tz) = Wz (xi, Xz, x), (11.44)

и также для ?г-мерной плотности вероятности.

Задание всех этих функций распределения плотности определяет случайный процесс. Однако более удобно иметь дело сшекоторьши осреднен-ньши и характеристиками процесса.

Прежде чем перейти к ним, отметим два важных для практики свойства.

1. Ограничиваясь только стационарньши случайными процессами, можно будет определить только установившиеся (стационарные) динамические ошибки автоматических систем при случайных воздействиях. Такой прием применялся и ранее при рассмотрении регулярных воздействий, когда определялись динамические свойства систем регулирования по величине динамических ошибок в установившемся периодическом режиме.

2. Стационарные случайные процессы обладают замечательньш свойством, которое известно под названием эргодической гипотезы.

Для стационарного случайного процесса с вероятностью, равной единице (т. е. практически достоверно), всякое среднее по множеству равно соответствующему среднему по времени, в частности х = х, х = и т. д.

В самом деле, поскольку вероятностные характеристики стационарного случайного процесса с течением времени не меняются (например, х = const), то длительное наблюдение случайного процесса на одном объекте (среднее по времени) дает в среднем такую же картину, как и большое число наблюдений, сделанное в один и тот же момент времени на большом числе одинаковых объектов (среднее по множеству).

Для многих случаев существует математическое доказательство этого свойства. Тогда оно сводится к эргодической теореме.

Итак, среднее значение (математическое ожидание) для стационарного процесса будет

х= J xw{x)dx = x = \\m~ j x{t)dt. (11.45)

Аналогичньш образом могут быть записаны моменты более высоких порядков - дисперсия, среднеквадратичное отклонение и т. п.

Эргодическая гипотеза позволяет сильно упрощать все расчеты и эксперименты. Она позволяет для определения ж, D, о и т. п., вместо параллельного испытания многих однотипных систем в один и тот же момент времени, пользоваться одной кривой х (t), полученной при испытании одной системы в течение длительного времени.

Таким образом, важное свойство стационарного случайного процесса состоит в том, что отдельная его реализация на бесконечном промежутке времени полностью определяет собой весь случайный процесс со всеми бесчисленными возможными его реализациями. Этим свойством не обладает никакой другой тип случайного процесса.