рис. 11.18, а. В соответствии с табл. 11.3 спектральная плотность будет 5 (ш) = 2л[б (О)-©i) + 6 (£0 + cui)l

s(/)=-l-[6(/-/l)+6(/+/l)].

График спектральной плотности будет иметь два пика типа импульсной функции (рис. 11.18, б), расположенные симметрично относительно начала координат при со = +©i и со = -coj.

CS(o)-a),)

Рис. 11.18.

Следовательно, мощность гармонического сигнала сосредоточена на двух частотах: со и -со (или соответственно и -Д).

Если рассматривать спектральную плотность только в области положительных частот, то получим, что вся мощность гармонического сигнала будет сосредоточена на одной фиксированной частоте: +coi или

3. Для периодической функции, разлагаемой в ряд Фурье

ж (f) = 0 + sin (cofef -f

спектральная плотность может быть представлена в виде

5 (со) = 2л { 6 (со) + 2 [6 (со ~coft) + б (со + со)] }

fe=l

5(/) = ?6(/) + 2 [8(/-/.) + 8(/ + Д)1-

Этой спектральной плотности соответствует линейчатый спектр (рис. 11.19) с импульсными функциями, расположенными на положительных и отрицательных частотах гармоник. На рис. 11.19 импульсные функции условно нарисованы так, что их высоты показаны пропорциональными коэф-

фициентам при единичной импульсной функции, т. е. величинам и А\.

Если функция времени ж {f) кроме периодической части будет содержать непериодическую составляющую, то спектр этой функции будет содержать, наряду с отдельными линиями типа импульсной функции, также и непрерывную часть (рис. 11.20). Отдельные пики на графике спехстральной плотности указывают на присутствие в исследуемой функции скрытых периодичностей.

Если функция времени х (t) не содержит периодической части, то она будет иметь непрерывный спектр без ярко выраженных пиков.

Рассмотрим некоторые стационарные случайные процессы, жжвющше значение при исследовании систем регулирования и следягцих систем. Будем рассматривать только центрированные процессы, т. е. такие процессы, математическое ожидание которых равно нулю: х = О, а дисперсия D фО. При

-с03 ~а>£ -(Of о

со, (Ог (Оз

Рис. 11.19.

Рис. 11.20.

этом средний квадрат случайной величины будет равен дисперсии: х = D = = a а Д (т) = до (т).

Это ограничение не имеет существенного значения, так как в случае X ф<д учет постоянного смещения в системе регулирования является элементарным.

1. Белый шум. Под белым шумом понимается случайный процесс, имеющий белый спектр, т. е. одинаковое значение спектральной плотности при всех частотах от -оо до --оо (рис. 11.21, а):

S (со) - N.

(11.71)

Примером такого процесса могут являться тепловые шумы сопротивления, которые дают уровень спектральной плотности хаотического напряжения на этом сопротивлении

является чисто случайным процессом,

- сопротивление, /г = 1,37х вт-сек т-1

-р--постоянная Больц-

где R X 10-2

мана, Т°- абсолютная температура.

На основании (11.68) спектральной плотности (11.71) соответствует корреляционная функция

R{%) = \ N cos сот ddi = Nb (т).

(11.72)

Таким образом, корреляционная функция представляет импульсную функцию, расположенную в начале координат (рис. 11.21). Этот процесс так как из графика корреляционной

функции видно, что при любом X отсутствует корреляция между последующими и предыдущими значениями случайной величины х.

Процесс с подобного рода спектральной плотностью является физически нереальным, так как ему соответствуют бесконечно большие дисперсия и средн:ий квадрат случайной величины: I) = = Д (0) оо а следовательно, бесконечно большая мощность.

S {(i>) = N при I со I < СОп

5 (со) = О при I со I > СОп

2п п

(11.73)

- полоса частот для спектральной плотности.

Этому процессу соответствует корреляционная функция

If N С N

i? (т) = - \ 5(со) COS СОТ dco = - \ cos сот йсо = - sin сОпТ. (11.74)

Корреляционная функция также изображена па рис. 11.21, б. Для этого процесса

? = C = i \ N,.=.S = J = NM. (11.75)

Среднеквадратичное значение случайной величины пропорционально корню квадратному из полосы частот:

Q = YD=YlfYXi. (11.76)

Часто бывает удобнее аппроксимировать зависимость (11.73) плавной кривой. Для этой цели можно, например, использовать выражение

где [Л = - коэффициент, определяющий ширину полосы частот.

График спектральной плотности, соответствующий этому выражению, построен на рис. 11.21, е. Для частот - [л < со < [л процесс приближается к белому шуму, так как для этих частот

S {(i>) N.

Интегрирование (11.77) по всем частотам дает возможность определить дисперсию:

N da N

Поэтому спектральная плотность (11.77) может быть записана в другом виде: Корреляционная функция для этого процесса

+ О0

() = i \ -jei-dco = Z)e- N. (11.79)

Корреляционная функция также изображена на рис. 11.21, е.

Чтобы получить физически реальный процесс, удобно ввести понятие белого шума с ограниченной спектральной плотностью (рис. 11.21, б):