Подставляя это с учетом (17.85) в уравнения (17.84), находим выражения исходных неременных через канонические в виде

2j %jDCkj) i Difi) s

V iVn-i(M r.-! (0)

an-i- 2j -kjDi-kj) £ (0)

C(0)

n-1 3=1

(17.90)

Если же один из корней многочлена D (р) равен нулю, например K-i == О, то

(7 = 1, 2, ...,п~2) и = Zn-i.

В результате вместо (17.90) получаем формулы:

1=-2

3=1 п-2.

3=1 п-2

Zj - hiZn-i -

Уп-1,

Zj - hZn-i-

N2 (0)

O(0)

Уп-1,

a;n-i= -

i=i i=i

(17.91)

(17.92)

По последней из формул (17.91) определяется y i и подставляется во все предыдущие.

Рассмотрим случай, когда релейная характеристика F (а) имеет гисте-резисную петлю без зоны нечувствительности (рис. 17.15). В частном случае 4> = О это будет идеальная релейная характеристика. Искомые автоколебания предполагаются симметричньши, т. е. вторая половина периода колебаний повторяет первую с обратным знаком (несимметричные автоколебания могут встретиться только в редких случаях). Обозначим половину периода автоколебаний через Т. В течение одной половины периода, когда

а > о и согласно рис. 17.15 F (а) = с, уравнения (17.89) имеют вид

pZjXjZjc (7 = 1, 2, ..., п -1), pG= S pj-zj-гс.

Если корни не равны нулю, то общее решение этих уравнений будет

z,= - + C,cV

(7 = 1,2, ...,п-1).

где Ci, Cj, . . ., Сп - произвольные постоянные ивтегрирования. Они определяются из условий периодичности, выражающих собой тот факт, что в Рис. 17.15. конце полупериода колебаний каждая переменная

должна быть равна ее значению в начале периода с обратным знаком, а именно:

Zi (Т) = -zj (0), (7 = 1, 2, ; . ., тг - 1), и (Г) = -о (0),

если время t отсчитывать от начала рассматриваемого полупериода колебаний. В результате получаем:

-i;, (/=1.2,.. -!).

3=1 3=1

Следовательно, написанное выше решение имеет вид

а= -с

3=1 3=1 l + e >

(17.93)

в интервале времени О <i t <1 Т.

В начале полупериода (в момент переключения реле) согласно рис. 17.15 имеем о = fc. Подставив это в (17.93), получаем уравнение для определения полупериода автоколебаний Т:

(17.94)

3=1 3=1

Период автоколебаний будет 2Т. Следовательно, частота автоколебаний

2я я

Необходимо заметить, что для того, чтобы действительно произошло переключение реле, нужно согласно рис. 17.15 иметь возрастание величхшы а при а = fc, т. е. в этот момент должно быть ро > 0. Отсюда получается, что

ДОЛЖНО выполняться следующее условие переключения:

(17.95)

Кроме того, не должно быть обратного переключения реле внутри полупериода, т. е. требуется о > -b при О <С t <С Т. Это можно проверить, построив кривую а (t) по второй из формул (17.93).

Амплитуда автоколебаний для любой переменной определяется как максимальное ее значение внутри полупериода (О < <С У) на основании формул (17.93). Последние дают также и всю кривую автоколебательного процесса на участке О < < У (на втором полупериоде она повторяется с обратным знаком, затем с прежним знаком и т. д.).

В случае, если один из корней %j- равен нулю, например Xn-i = О? то формулы (17.93), (17.94) и (17.95) заменяются соответственно следующими:

т также

= -[(Sf+){4)

j=l 3=1

(17.96)

(17.97)

(17.98)

Устойчхшость автоколебаний определяется на основании уравнений данной системы в малых отклонениях от исследуемого автоколебательного процесса. Эти уравнения являются линейными уравнениями с периодическими переменными коэффициентами. Согласно теории Ляпунова (приводится без вывода), необходимым и достаточньш условием устойчивости автоколебаний является отрицательность вещественных частей всех корней следующего характеристического уравнения:

2j 17 --=г,

2 kjT

(17.99)

а еспиЯ 1 = 0, то

2 Я,-Г

(17.100)

где через р, как и везде ранее, обозначена переменная характеристического уравнения.