508 TO-qHblB МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ и АВТОКОЛЕБАНИЙ [ГЛ. 17

При написании уравнения линейной части системы (16.53) пренебрежем постоянными времени (чтобы иметь возможность рассматривать уравнение всей системы как уравнение второго порядка), а именно:

1я = - ihp + ) Р-

Подставив это в уравнения объекта (17.39) и обозначив

сл , cik

h=-j-.

получим уравнение всей следящей системы в целом:

= -fciSignpP при рфО или при рР = 0 и IP>7i Р = const при рР = О и I Р I <! .

(17.40)

(17.41) (17.42)

За координаты фазовой плоскости примем, как обычно, ж = р, у = рр. Условие у = О и I а; I < , при котором согласно (17.42) будет р = const.

Рис. 17.5.

т. е. система будет в равновесии, изображается на фазовой плоскости отрезком АВ (рис. 17.5).

Вне этого отрезка согласно (17.41) необходимо отдельно рассмотреть два случая: у = р О ж у = р О, т. в. верхнюю и ниншюю половины фазовой плоскости. При у О из (17.41) имеем

(Р + ajjp + а) X = fei.

Это уравнение совпадает с уравнением (16.23), но со сдвигом на величину ж = . Следовательно, ниже оси х надо нанести такие же кривые, как

на рис. 16.9, б (если <i Аа) или как на рис. 16.11, б (если alia), но со сдвигом начала координат в точку А, что и сделано на рис. 17.5, а ш б соответственно.

Аналогичные кривые наносятся и выше оси х, но только со сдвигом начала координат в точку В (рис. 17.5), так как согласно (17.41) при у > О имеем уравнение

(Р + aiP + X = -fei.

в обоих случаях (рис. 17.5, а л б) система устойчива, причем в первом случае переходный процесс состоит из конечного числа затухающих колебаний управляемого объекта, а во втором случае имеем анериодическое движение. Положение равновесия объекта определяется неоднозначно, объект может остановиться в любой точке особого отрезка АВ (рис. 17,5), как это было уже ранее при наличии зоны нечувствительности (см. пример 1). Особый отрезок АВ определяется соотношением Жвр = cia \ < с, где с - абсолютное значение момента сухого трения при движении управляемого объекта.

Заметим, что произведенное здесь упрощение уравнений системы хотя и позволило решить их точно, но это решение, дающее в результате устойчивость системы при любых числовых значениях параметров системы, неполно отражает действительную картину явлений в данной нелинейной системе.

Метод точечного преобразования. Как видно было из примеров, фазовая траектория обычно складывается из отдельных кусков, представляющих решение уравнений системы по участкам.

Пусть (рис. 17.6, а) граничными линиями между кусками фазовых траекторий являются ось X, линия FG и линия LN.

Возьмем начальное положение изображающей точки где-нибудь на полуоси Ох. Один этап движения системы состоит в переходе изображающей точки на линию FG, ограничивающую этот этап, в некоторое положение Ml (рис. 17.6, а). Следующий этап переводит изображающую точку

X, Ушойтвыц щзе- дельный (ЩЛ/

Устойчивыйпре-, бельный цикл

Рис. 17.6,

В положение на полуоси ОН, затем в положение на кривой LN и, наконец, в положение М4 на исходной полуоси Ох.

Каждому положению Mq (xq, 0) на полуоси Ох соответствует определенное положение точки М-у (х, па кривой FG. Это называется точечным, преобразованием полупрямой Ох в кривую FG. Для краткости ему присваивают название, например: преобразование Дальше (рис. 17.6, с) идет точечное преобразование кривой FG в полупрямую ОН, названное Е; затем - точечное преобразование S полупрямой ОН в кривую LN и преобразование Е кривой LN в исходную полуось Ох.

Все это в целом (или, как говорят, преобразование SESE) называется точечным преобразованием полупрямой Ох самой в себя. Это преобразование в данном случае записывается в виде определенной зависимости:

4 = / (Жо),

где через х и Хд обозначены абсциссы точек и Мо (рис. 17.6, а). Если при любом Хд оказывается х < Xq, то в системе будет затухающий процесс, а если х:> Хо - расходящийся процесс. Если же возможно равенство 4 = Хо, то на фазовой плоскости получится предельный цикл, который, как известно, может изображать либо устойчивый автоколебательный процесс, либо границу устойчивости системы в малом, либо может соответствовать особому случаю бифуркации (см. ниже).

В тех случаях, когда общая картина фазовых траекторий разделяется на две симметричные части, достаточно исследовать только половину всего точечного преобразования.

В рассматриваемом случае верхняя полуплоскость симметрична нижней относительно начала координат. Поэтому достаточно рассмотреть только первую половину преобразования {S*E*), т. е. точечное преобразование Ох в полупрямую ОН, и выразить его в виде зависимости

\x,\=f{xo) {х,<:0), (17.43)

причем условие наличия предельного цикла на фазовой плоскости будет \ xl = Хо при х < 0.

Пусть, например, зависимость (17.43) имеет вид кривой, показанной на рис. 17.6, б. Проведем на этом графике еще прямую из начала координат под углом 45° к координатным осям. Если она пересечет кривую, то в точке пересечения получим 2 = Xq. Чтобы определить, какому типу предельного цикла это соответствует, надо взять на оси абсцисс начальную точку Xq сначала слева, а затем справа от точки пересечения и проследить ход точечного преобразования, как показано стрелками на рис. 17.6, б. В данном случае процесс сходится с обеих сторон к точке пересечения. Следовательно, здесь будет устойчивый предельный цикл, соответствующий автоколебательному процессу в системе. При этом абсцисса точки пересечения (рис. 17.6, б) дает амплитуду автоколебаний.

.Можно поступить и иначе. Допустим, преобразование от точки Жо к точке выполняется достаточно просто, но оказывается, что по полученной определенной точке М- находить соответствующую точку труднее, чем по заданному положению определять М. Тогда будем подходить к кривой FG с двух сторон, задавая одновременно точку Mq (xq) на полуоси Ох и точку Мд (- Xq) на полуоси ОН и находя соответствующие точки и М[ (рис. 17.6, в). В результате получим точечные преобразования полупрямых Ох и ОН в кривую FG, выраженные некоторыми зависимостями:

1 = к (ао) и ж; = /г {хо).

Изобразив это в виде двух кривых (рис. 17.6, г) анализируем их тем же способом, как и кривую с прямой на рис. 17.6, б.

Такие графики (17.6, б и г) называют диаграммами точечного преобразования. Они соответствуют в данном случае устойчивому предельному циклу, т. е. наличию установившегося автоколебательного процесса в системе. Другие возможные типы диаграмм точечного преобразования показаны на рис. 17.7. При этом рис. 17.7, а соответствует неустойчивому предельному циклу; он ограничивает область начальных условий (жр, у, при которых система оказывается устойчивой относительно установившегося состояния с постоянным значением регулируемой величины {х = 0). При начальных же условиях Хд, Уо, выходящих за контур этого предельного цикла, система неустойчива (система устойчива в малом и неустойчива в большом).

Рис. 17.7, е соответствует двум предельным циклам, из которых меньший неустойчив, а другой (больший) устойчив. Следовательно, при начальных условиях Хо, Уо, расположенных внутри первого предельного цикла, система устойчива, как и в предыдущем случае, а при всяких других начальных условиях она стремится к установившемуся автоколебательному процессу, который определяется вторым предельным циклом.

Этот случай может выродиться в случай, изображенный на рис. 17.7, б, когда оба предельных цикла сливаются в один полуустойчиеый. Подобные особые случаи называются бифуркационными.