И функцию веса

что совпадает с полученным ранее выражением.

Дифференциальное уравнение второго порядка. Рассмотрим случай, когда дифференциальное уравнение (13.1) сводится к уравнению второго порядка

+ Pit) + Q{t)x = f{t). (13.19)

При помощи подстановки

x(t)=u{t)e о (13.20)

это уравнение приводится к виду

--l-F{t)u = f{t)e о ft). (13.21)

Здесь введено обозначение

F{t) = Q{t)-±-. (13.22)

При действии единичного импульса f (t) = 8 {t - &) для уравнения (13.21) получится решение и = z (t - &, &), которое связано с весовой функцией W {t - &) исходного уравнения (13.19) на основании формулы (13.20) соотношением

-5- I Р (О dt

w{t - &, &) = z{t~&, &)е о . (13.23)

Если н{е положить (f) = 6 (t - &), то для уравнения (13.21) будет получена весовая функция r{t - &, &), которая на основании (13.9) связана с решением z {t - &) зависимостью

z(f -&,&)=] Г (f-M, м)е о 6{u - &)du.

Эта зависимость на основании свойства дельта-функции может быть представлена в виде

Z (*-&, &) = г (*-&,&) е о . (13.24)

В результате из (13.23) и (13.24) получаем

w (i -&,&) = г (i -&,&) е о . (13.25)

Таким образом, для отыскания функции веса w {t ~ &) необходимо предварительно решить уравнение (13.21), которое приобретает вид

+ F{t)u = 6{t-, (13.26)

с нулевыми начальпьши условиями: и (Z) = О и м (Z) = О при t = Полученную нри решении весовую функцию и = г {t - &, &) необходимо затем подставить в (13.25) и найти w (Z - &, &).

Решение уравнения (13.26) может быть произведено при помощи использования функций Бесселя [118]. Для этого функция F (t) должна быть

аппроксимирована отрезками прямых линий, уравнение которых сводится к виду ui -f- bit. Однако это решение является сравнительно сложным.

Ограничимся рассмотрением так на-зьшаемого аппроксимирующего решения, которое может применяться, если функция F {t) мало изменяется относительно своего среднего большого значения icp (рис 13.4). Это решение называется аппроксимацией Бриллуипа - Вептцеля - Крамера [118].

Рис. 13.4.

Рассмотрим однородное дифференциальное уравнение

\-F (t)u = 0.

(13.27)

Предположим теперь, что для некоторого однородного дифференциального уравнения второго порядка получено частное решение

S{t)= N{t) dt.

(13.28)

(13.29)

Найдем дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет решение (13.28). Продифференцировав его дважды и исключив промежуточные переменные, получаем

(13.30)

Сравнивая (13.30) и (13.27), видим, что выражение (13.28) будет частным решением уравнения (13.27), если выполняется тождество

N N

(13.31)

Решение уравнения (13.31) и отыскание функции N {t) является сложной задачей вследствие наличия нелинейностей в (13.31). Однако может быть найдено приближенное решение (13.31) в виде ряда, если удовлетворяются неравенства

<е\ б<1.

Тогда решение (13.21) можно представить в виде N = No + Ni + N2 + ...

(13.32)

Подставляя этот ряд в (13.31), получаем формулы для определения членов ряда:

1 N.

2 No

(13.33)

Часто можно ограничиться только первым членом ряда (13.22), что будет справедливым, если функция F (t) изменяется медленно, оставаясь в среднем большой (рис. 13.4). Тогда

N{t) = VF{t).

(13.34)

При выполнении условия F (i) > О в качестве второго частного решения можно взять комплексно-сопряженную величину (13.29)

uz (t) = J e-s(t). (13.35)

yWJi)

Тогда можно показать, что решение уравнения (13.26) будет щ (i) uz (©) - щ (#) 2 (i) щ (t) щ (#) - щ {©) uz (i)

или, после подстановки (13.28) и (13.35),

sin [S {1)~3{Щ].

(13.36)

(13.37)

В предельном случае постоянства параметров F {t) = fi = const. Тогда S (t) = Qt и S (&) = Ш. В результате из формулы (13.37) можно получить функцию веса консервативного звена

г (f - &) = 4 ~ ) = siJi

Для исходного дифференциального уравнения (13.19) на основании (13.25) и (13.37) получаем искомую функцию веса

ro{t-i},-&)==y=e sm[S{t)-Sm. (13.38)

Критерием медленности изменения функции F {t) и, следовательно, применимости полученного выражения может служить неравенство

1 [F (t)]2 , 1 F{t)

<1,

(13.39)

2 F3{t) 4 f2(i)

которое получается из (13.31) и (13.34).

Метод последовательных приближений. Рассмотрим уравнение (13.1):

ао (О + . + (*) = Ьо (*).- +... + bm(t)f.

Ограничиваясь случаем квазистационарных систем и полагая, что коэффициенты Ui {t) меняются медленно, найдем функцию веса для этого уравнения.

Переменные коэффициенты в левой части исходного уравнения представим в виде суммы постоянной и изменяющ,ейся частей:

li (t) = al + a\ =щ ( &) + at(t~ &), (13.40)