§ 12.3] МЕТОД КОРЙЕВЫХ ГОДОГРАФОВ . 343

для регулируемой величины при наличии задающего воздействия (5.3):

D (р) г/(t) = R (р) g {t),

D (р) = аор + ар- + . . . + a ,R(j)) = Ър + М + +

Это уравнение записано здесь для случая равенства нулю возмущающих воздействий. Оно может быть записано также для любого возмущающего воздействия. Это не изменит его формы и не отразится на дальнейших рассуждениях.

Передаточная функция замкнутой системы

Полюсы передаточной функции, т. е. корни знаменателя, обозначим через pi, Pz, - ., Pni а ее нули (корни числителя) - через р\, р1, . . ., рт-

Коэффициенты числителя и знаменателя (12.29) определенным образом выражены через параметры регулируемого объекта, регулятора и корректирующих устройств. Если нужно выбрать величину какого-либо параметра р (постоянная времени, коэффициент усиления и т. п.), входящего как угодно в коэффициенты (12.29), то необходимо принять некоторые постоянные значения для всех остальных параметров, а для искомого параметра Р задавать различные числовые значения Р, Ра, . . ., Р внутри реально возможных пределов изменения этого параметра в данной системе регулирования. Для каждого из этих вариантов необходимо затем вычислить корни числителя и знаменателя (12.29). Результаты вычислений можно свести в таблицу, на основании которой легко строятся все траектории корней.

Если нужно выбрать два или несколько параметров регулируемой системы, то такого рода вычисления нужно проделать несколько раз, меняя каждый раз один из параметров при заданных значениях всех остальных.

Вычисление корней при зтом можно производить любым численным методом, возможно более простым, так как ввиду приближенности корневой оценки здесь не требуется большой точности вычислений. В настоящее время имеются электрические устройства, позволяющие строить на экране траектории корней непосредственно по заданным коэффициентам уравнения.

Из простых численных методов определения корней можно рекомендовать, например, метод последовательных делений 98].

Другой способ построения траекторий корней, разработанный Ивэнсом и Э. Г. Удерманом [128], в отличие от первого, пригодного для выбора любого параметра системы, специально приспособлен для выбора общего коэффициента усиления передаточной функции разомкнутой системы (5.10), которую запишем следующим образом:

W (р) = KGi (р). (12.30)

Здесь К = Kj. ~ общий коэффициент усиления разомкнутой системы, имею-пщй размерность сек, где г - степень астатизма; (р) - операторная часть передаточной функции разомкнутой системы.

Характеристическое уравнение системы может быть записано в виде

Обозначим полюсы и пули передаточной функции разомкнутой системы соответственно через q, q, . . ., q ш gi, q, . . g ,. Тогда

Gi ip) = Л AG ip), (12.32)

( gO)( gO) ... ( 50,

>0 {m<Zn).

Каждый сомножитель в выражении (12.32) можно изобразить в виде вектора па комплексной плоскости (рис. 12.1), где р - текущая точка. Обозначим длину (модуль) каждого вектора в знаменателе (12.32) через Tj, Га, . . ., г , а в числителе - через rj, г , . . ., г- Соответственно угол между вектором и положительным направлением оси вещественных (аргумент) для знаменателя обозначим ф1, фа, . . ., ф , а для числителя - ф5. Фа, . . ., фт- По правилу перемпожепия комплексных чисел согласно формуле (12.32) найдем, что G (р) будет представлять собой вектор с длиной г и аргументом ф, причем

G (р) = геч,

r?ri...rO,

>

(12.33)

г = -

Г1Г2 ...

, ф=ф? + ф +...+фйг-(Ф1 + Ф2+---+Фп)-

Подставив (12.33) в выражение (12.31), получим

АКг

откуда вытекают два равенства:

Аг ф = ±Я.

(12.34) (12.35)

(12.36)

(12.37) (12.38)

Траектории корней (рис. 12.1) строятся такиьх образом, чтобы они удовлетворяли условию (12.38). После зтого по формуле (12.34) для каждой

XT-i-p-

Рис. 12.1.

конкретной комбинации корней можно вычислить А и величину г, а затем по формуле (12.37) - общий коэффициент усиления К.

Для упрощения построения траекторий корней используются следующие свойства.

1. При jfiT = О корпи характеристического уравнения замкнутой системы совпадают с полюсами передаточной функции разомкнутой системы W (р) или G (р), так как согласно (12.31) при К = О имеем G (р) оо.

§ 12.3] МЕТОД КОРНЕВЫХ ГОДОГРАФОВ 345

2. При к оо корни стремятся к нулям передаточной функции разомкнутой системы, так как при К оо жз (12.31) получаем G (р) 0. Но количество нулей равно т, в то время как количество корней п>т. Поэтому остальные п - т корней уходят в бесконечность, так как G (р) -> 0. еще при 7? -> СХ5. Для последних п - т корней можно определить направления асимптот на основании (12.31) и (12.32). При больших р (роо) имеем соответственно

(12.39)

GiP)--, (12.40)

откуда аргумент комплексного числа р - * (при р оо) будет п -\- 2in

(i = 1, 2, 3, . . .) и, значит, аргумент числа р (при р -> cxs), т. е. наклон искомых асимптот, будет

(i = l,2,3, ...). - (12.41).

3. На вещественной оси траектории корней представляют собой отрезки прямой, соединяющие нули и полюсы функции G (р), расположенные на этой оси. Началом траекторий на вещественной оси служит нуль, расположенный правее всех остальных.

4. Если траектория отклоняется от вещественной оси, то положение-точки р = а, в которой траектория отходит от этой оси, можно оценить из того условия, что при малом отклонении АХ от вещественной оси приращение угла (12.35), обусловленное влиянием полюсов и нулей функции G (р)г расположенных на оси влево от искомой точки, должно уничтожаться приращением этого же угла, обусловленным влиянием полюсов и нулей G (р), расположенных вправо от этой точки.

Так, например, пусть имеется функция

м-(р+о,ш;и;+° ,+е,- (2.42)

При К = О траектории исходят из точек (-0,001), (-2) и (-6), лежащих на вещественной оси. Отрезки траекторий лежат между точками (-0,001) и (-2) и между (-6) и (-оо).

Применяя правило 4, можем записать

0 + 0,001 а+2 а+&

Решение этого квадратного уравнения дает а = -0,904.

5. Положение точки, в которой траектория пересекает мнимую ось при переходе в правую полуплоскость комплексной переменной р, часто можно оценить, пренебрегая влиянием малого по абсолютной величине полюса функции G (р).

Рассмотрим в качестве примера опять функцию (12.42). При значительных по модулю величинах комплексной переменной р эту функцию можно-с хорошей точностью аппроксимировать функцией

Gtip)-

Р{Р+2){р+6)

Тогда фх = я 2 (рис. 12.2) и, следовательно, условие (12.38) сводится к равенству

ф= -я= -Фа -Фз-