ход к искомой решетчатой функции у [п] осуш,ествляется в соответствии с изложенными выше приемами.

Особый интерес представляет случай, когда до момента времени п = О искомая решетчатая функция тождественно равна нулю. Это эквивалентно-случаю нулевых начальных условий слева (при t = -0) при решении дифференциальных уравнений для непрерывных функций. Тогда в выражении для изображения (15.94) пропадает член в правой части, определяемый начальньши условиями, и оно приобретает вид

y(.) = 4i-. (15.95)

Рассмотрим разностное уравнение вида (15.19), но записанное в более общем виде:

ЧУ Ы + 1?/ [и - 1] + . . + о-тпУ [п - т\ =

I]. (15.96)

Если ввести предположение, что решетчатая функция у [nl тождественно равна нулю при п <; О и, кроме того, функция / [п] в правой части (15.96) прикладывается в момент времени

тг = О, то переход к изображениям дает

( о + + . . . + flz- ) У (z) = = (&о + + . . . + blZ-) F (z).

(15.97)

Изображение искомой решетчатой функции можно представить в виде

а) о

f[n]

м

6) qU

f[n]

-f-F(z) = H(z).F(z).

(15.98)

fin]

Рис. 15.10.

Здесь введена дискретная передаточная функция W (z), которая, как и в случае непрерывных функций, есть отношение двух изображений (выходной и входной величин) при нулевых начальных условиях. Дискретная передаточная функция играет такую же роль в импульсных и цифровых системах, как и обычная передаточная функция в непрерывных системах. Получение этой функции будет подробно рассмотрено ниже.

16. Периодические решетчатые функции и их изображения. Введем в рассмотрение периодическую решетчатую функцию

/ [п + = / [п], (15.99)

где к SL М - целые числа, причем М представляет собой относительный период (рис. 15.10, а).

Первая гармоника имеет относительную угловую частоту

1 = - (15.100)

. . ( ah~]bk, к>0,

Cfe = Cfee Pfe= J ао, k==0, (15.103)

, I cih + jbk, k<CO.

Для M = 2N при k = N

- . f ujv, iV >0,

= { a 7V<o. (15-104)

Комплексные амплитуды могут находиться из формул: при М = 2N + 1

-livTr 2 /и е- , (15.105)

лри М = 2Л /

= 4г 2 /t] - (15.106) Для r = N при М = 2Л + 1

= -2ЛПГг2 /И * (15.107)

гг=0

1н при М = 2iV

2IV-1

= W 2 /Ме- . (15.108)

Для симметричной периодической функции (рис. 15.10, б), т. е. при выполнении условий М = 2N и / [и] = -/ [п + N\, формула для комплексной амплитуды принимает вид

сг = ~ /[п]е-> 1 [1-(-1)-]. (15.109)

Из последнего выражения следует, что при четном г будет = О, т. е. четные гармоники отсутствуют. При г нечетном

Сг = ~ f[n\e-, r<N. (15.110)

функция (15.99) может быть представлена в виде суммы конечного числа гармоник с частотами, кратньши cuj:

/[п]=--+2 [аиcosкщп + Ьиsinкщп). (15.101)

fe=i

Число гармоник равно целой части

Ряд (15.101) может быть представлен в комплексной форме:

= 2 Cfeg* (15.102)

Если N нечетно, то при г = N

iv = 4 2 fMe--. (15.111)

n=0 .

Так как здесь присутствуют только нечетные гармоники, то тригонометрический ряд может быть записан в вещественной форме;

= S сье№ 1 = 2 CftC0s(toin + 9fe), (15.112)

где iVi = iV - 1 для четных N vl Ni = N для нечетных N.

Для нахождения изображения периодической решетчатой функции (15.99) применим теорему сдвига (15.50):

7-=0

Отсюда следует:

() = -#Т S /И- -- (15.113)

z - 1

Сумма в правой части (15.113) представляет собой изображение решетчатой функции на интервале О - М.

Для симметричной периодической функции / [п] = -/ [п + N] аналогичным образом можно получить

N-1 . .

( ) = -;i2 /И- -- (15.114)

Найдем, например, изображение симметричной периодической решетчатой функции, показанной на рис. 15.10, е:

7-=0

§ 15.3. Передаточные функции

Блочная схема импульсной системы, содержащая импульсный зле-мент ИЭ в канале ошибки, изображена на рис. 15.11. Импульсный элемент обычно считают идеальньш. Понятие идеального импульсного элемента вводится двояким образом.

Можно положить, что идеальный импульсный элемент генерирует решетчатую функцию с периодом Т, образованную из непрерывного значения ошибки системы

ж* [п] = X it) \t=nT = X [п\. (15.115)

Здесь принято, что в решетчатой функции смещение 8 = 0. Это всегда можно сделать выбором начала отсчета времени.