Главная ->  Логарифмическое определение устойчивости 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 [ 188 ] 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254

изобрадгенная на рис. 18.21, б. Здесь возможен только автоколебательный процессе; область устойчивости равновесного состояния, имевшаяся на рис. 18.21, а, пропадает.

Как видим, зона нечувствительности имеет стабилизируюш;ее значение для релейной системы автоматического регулирования, причем ширина области устойчивости (О Л kaiv) согласно (18.108) пропорциональна ширине зоны нечувствительности 26. Сравнение данного решения, учиты-ваюв];его инерционность регулятора Tg, с решением без учета показывает принципиальную важность учета этого фактора. Например, для характеристики вида рис. 18.20, в без учета получится только устойчивость {а = 0) при любых числовых значениях параметров (что нереально), а с учетом - только автоколебания (рис. 18.21, б). Для характеристики вида рис. 18.20, б вместо неограниченной области устойчивости (без учета Т) получается ограниченная и возникает еш;е область автоколебаний с большой амплитудой

при одновременном существовании устойчивости в малом (рис. 18.21, а).

Далее, в третьем частном случае, когда характеристика реле чисто гистерезисная (рис. 18.20, г), т. е. = -6 = -Ь, из (18.99) имеем


При этом из (18.102) находим

(18.110)

а из (18.103)

яЬЮд(1-]-Гы)(1-]-Г§ы)

(18.111)

(18.112)

По этим формулам построены кривые на рис. 18.21, в ж г, определяющие амплитуду и частоту периодического решения в зависимости от величины параметра к. Устойчивость периодического решения определим здесь по методу осреднения периодических коэффициентов. Для вычисления коэффициента % (а) согласно (18.60) нужно знать производную от и по X, которая, однако, обращается в бесконечность при х = Ь, когда рх>0, и при X = -Ь, когда рх <. 0. Чтобы избежать этого, заменим заданную характеристику (рис. 18.20, г) новой (рис. 18.22, а), из которой заданная получается предельным переходом (другой способ, с дельта-функцией, см. в § 18.5,

рис. 18.37). Для характеристики на рис. 18.22, а при изменении величины аг

по закону X = а sin at (рис. 18.22, б) производная -принимает значения,

показанные на рис. 18.22, в, где

Рис. 18.21.

ф1 = arcsin -

фа = arcsin

(18.113)

Осредненное ее значение (18.60) согласно рис. 18.22, е с предельным пере-



ХОДОМ К заданно,!! характеристике {h -> 0) будет

2с №2-я))!)

2- №2-1)

так как h = а sin фа - sin ip.

Обозначив = 1 + Аф и взяв производные от числителя и знаменателя по Аф, получим

X(a)=lim-п--гтт = --Д=-. (18.114)

Итак, для исследования устойчивости получаем следующее характеристическое уравнение:

ТТдр + {Ti + Тд)р+р + kJcX {а) = 0.

(18.115)

Условие устойчивости периодического ре шения, следовательно, по критерию Гурвица будет

Подставив сюда ОС (а) из (18.114) и значения 4 и Л из (18.111) и (18.112), убедимся, что оно выполняется. Следовательно, в системе в) будут устойчивые автоколебания а; = sin п, амплитуда и частота которых определяются графиками рис. 18.21, в ж г или формулами J;; (18.111), (18.112).

Пример 6. Пусть в той же системе характеристика реле имеет простейший вид Рис. 18.22.

рис. 18.20, е, но имеется постоянное по времени

запаздывание т. Тогда согласно (18.110), где 6 = 0, уравнение нелинейного звена будет

В результате получим характеристическое уравнение системы

{Tip + 1) {Т,р +i)p + kike--P=0.

Подстановка р = ую с учетом выражения e J = cos тсо - ; sin то даст два уравнения:

X = cos тсо - {Ti -Ь Тз) 0)2 = О,


У = sin ТО) 4-О) - Г1ГзО)3 = О,

из которых находим два соотношения:

(ri-fr3)o) tgTO)n=l-rir30): 4cfcift

On =

зивп ]/1 + (Г! -Ь Г!) 0)2 + Т\



Первое из них определяет частоту (решается графически), а второе - амплитуду автоколебаний в зависимости от коэффициента усиления регулятора Л и от других параметров системы.

Заметим, что во всех случаях, рассмотренных в примере 5 и в данном примере релейной системы, через Сц обозначалась амплитуда автоколебаний

величины X. Амплитуда же автоколебаний се регулируемой величины 6 (температуры) бу-


6 =

Пример 7. Рассмотрим систему автоматического регулирования с приводом, регу-лируюш;его органа в виде двухфазного двигателя переменного тока. Характеристика этого двигателя для разных значений управляющего напряжения U имеет вид, представленный на рис. 18.23, а.

Линеаризуя характеристики, обычно считают

М = си - cd)

(18.116)

Но это справедливо в первом приближении только для левого участка характеристики. Если же используется большая часть характеристики, то необходгшо учесть ее нелинейность. Имея в виду, что на рис. 18.23, а с увеличением (Оде коэффициент Ci уменьшается, а коэффициент увеличивается, примем для описания этой характеристики вместо (18.116) следующее нелинейное выражение:

(абсолютные значения дв в коэффициентах поставлены потому, что (Ода меняет знак, а сами коэффициенты должны оставаться полонштельными числами). Аналогично можно подбирать и любой другой более подходящий нелинейный закон для описания характеристик двигателя.

Введем для дальнейшего обозначение

X = сйдв. (18.118)

Тогда дифференциальное уравнение двигателя

и - сх - С41 а; j ж

1 + сз1

(где / - момент инерции всех вращаемых двигателем масс, приведенных к валу двигателя) можно записать в виде

+Jcs\x\~ + CX-{- (СаСз + С4) \х\х-{- СдС.Х = CiU.

(18.119)

Здесь имеем три нелинейные функции:

Fx=\x\, F, = \x\x, Гармоническая пх линеаризация по правилам § 18.1 дает:

F, = х.

4а dx

Зл dt



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 [ 188 ] 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254