передаточная функция замкнутой системы может быть представлена в виде

Ф{р)

(8.90)

Для этой передаточной функции сравнительно просто найти, как зависят величины, которые определяют запас устойчивости: перерегулирование о%, показатель колебательности М и запас устойчивости по фазе р, от параметра

5Р ЮО

W 80

30 60

20 40

ГО 20

2,5 2,0 1,5 1.0 0,5

О 0,25 050 0,75 С

50 40 30 20 10 О

2.0 N

Рис. 8.31.

затухания t,. Соответствующие кривые приведены на рис. 8.31, а. На рис, 8.31, б дается зависимость между перерегулированием а% и показателем колебательности М для той же передаточной функции (8.90).

Кривые, приведенные на рис. 8.31, в некоторой мере характеризуют связь между показателями качества и в более сложных случаях, чем выражение (8.90).

Так как резонансная частота сор приблизительно соответствует частоте колебаний замкнутой системы в переходном процессе, то время достижения первого максимума на переходной характеристике (рис. 8.3) может быть определено по приближенной зависимости

(8.91)

Если переходный процесс в системе заканчивается за 1-2 колебания, то время переходного процесса можно определить по приближенной зависи-

мости

(1 2)

(1-2)

2л Юср

(8.92)

Сравнение формул (8.71) и (8.89) показывает, что эквивалентная полоса пропускания сОд совпадает с точностью до постоянного множителя с интегральной квадратичной оценкой определяемой формулами (8.67) и (8.68). Совпадение будет полным, если рассматривать всю эквивалентную полосу пропускания от -Wg = -2л/э до +сйэ = 2л/э и измерять ее в герцах. Тогда получаем

§ 8.10. Чувствительность систем регулирования

Действительные значения параметров системы регулирования практически всегда отличаются от расчетных. Это может вызываться неточностью-изготовления отдельных элементов, изменением параметров в процессе хранения и эксплуатации, изменением внешних условий и т. д.

Изменение параметров может привести к изменению статических и динамических свойств системы регулирования. Это обстоятельство желательно учесть заранее в процессе проектирования и настройки системы.

Степень влияния изменения отдельных параметров на различные характеристики системы оценивается посредством чувствительности. Чувствительностью называется некоторый показатель, характеризующий свойство системы изменять режим работы при отклонении того или иного ее параметра от номинального, или исходного, значения. В качестве оценки чувствительности используются так называемые функции чувствительности, представляющие . собой частные производные i-ш координаты системы по вариации /-г0 параметра,

или частные производные от используемого критерия качества / по /-му параметру.

Р,= () . (8.9S)

Нулевым индексом сверху отмечено то обстоятельство, что частные-производные должны приниматься равными значениям, соответствующим номинальным (расчетным) параметрам.

Функции чувствительности временных характеристик. Посредством, этих функций чувствительности оценивается влияние малых отклонений параметров системы от расчетных значений на временные характеристики системы (переходную функцию, функцию веса и др.).

Исходной системой называют систему, у которой все параметры равны расчетным значениям и не имеют вариаций. Этой системе соответствует так называемое основное движение.

Варьированной системой называют такую систему, у которой произошли вариации параметров. Движение ее называют варьированным движением.

Дополнительным движением называют разность между варьированным-и основным движением.

Пусть исходная система описывается совокупностью нелинейных уравнений первого порядка

- = i(a;i, Жп, 1, т) (t = l, 2, ..., и). (8.96)

Рассмотрим мгновенные вариации параметров Аау (/ = 1, . . ., т), так что параметры приняли значения + Да. Если изменения параметров-не вызывают изменения порядка дифференциального уравнения, то варьированное движение будет описываться совокупностью уравнений

- = Fi{xi, ...,Хп, ai-b Aai, ..., Кт-Ь Дат) = 2, ...,п). (8.97)=

Для дополнительного движения можно записать

Джг (t) = Xi (t) - Xi (t). (8.98).

При условии дифференцируемости (t) и Xi (t) по параметрам (J = = 1, . . ., т) дополнительное движение можно разложить в ряд Тейлора..

Пусть, например, вариацию претерпевает постоянная времени Tg. Тогда дифференцирование последнего выражения по Гд даст функцию чувствительности по этому параметру

Дополнительное движение при этом будет Ау {t) = и {t) ДГ3, где ДГд - вариация постоянной времени Т.

Пусть рассматриваемая система описывается совокупностью уравнений первого порядка

-=aixnyhf{t) (i=l, 2, ..., ), (8.101)

h=l g=l

Для малых вариаций параметров допустимо ограничиться линейными членами разложения. Тогда получим уравнения первого приближения для дополнительного движения

Axi {t, Даь . .., Да) = 2 ) = 2 (8.99)

3=1 3=1

Частные производные, находящиеся в скобках, должны быть равны их значениям при Aaj = 0.

Таким образом, первое приближение для дополнительного движения может быть найдено при известных функциях чувствительности. Заметим, что использование функций чувствительности удобнее для нахождения дополнительного движения по сравнению с прямой формулой (8.98), так как последняя во многих случаях может дать большие ошибки вследствие необходимости вычитать две близкие величины.

При значительных вариациях Да; может оказаться необходимым использование второго приближения с удерживанием в ряде Тейлора, кроме линейных, также и квадратичных членов.

Дифференцирование исходных уравнений (8.96) по ау приводит к так называемым уравнениям чувствительности

д I dxi\ d I dxt\ dug eFj dFj

daj \ dt I dt \daj ) dt dx daj

(i = l, 2, n; j=i, 2, m). (8.100)

Решение этих уравнений дает функции чувствительности иц. Однако уравнения (8.100) оказываются сложными и решение их затруднительно. Более целесообразен путь структурного построения модели, используемой для нахождения функций чувствительности [21, 53, 111].

Обратимся теперь к линейным системам. Не снижая общности рассуждений, можно рассматривать случай изменения одного j-то параметра.

Б некоторых случаях функции чувствительности получаются дифференцированием известной функции времени на выходе системы. Так, если передаточная функция системы соответствует апериодическому звену второго порядка, то (см. табл. 4.2)

При поступлении на вход ступенчатой функции g (t) = go ! (t) на выходе будет