ГЛАВА 23

НЕЛИНЕЙНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИЮВАНИЯ

§ 23.1. Общие положения

Ранее, в главе 12, была рассмотрена уже задача оптимизации систем автоматического регулирования в линейной постановке. Однако в большинстве случаев практики, когда на управление накдадьгеаются ограничения по величине, по скорости или другие, оптимальный закон регулирования становится нелинейным, если даже сам регулируемый объект описьгеается линейными уравнениями. Тогда система в целом после оптимизации становится нелинейной.

Итак, здесь будет рассматриваться синтез такого закона регулирования, который оптимизирует процесс управления в системе по заданному критерию, причем этот закон регулирования оказьтается нелинейным:

и = и (xi, х . . ., Хп). (23.1)

Оптимизации может подвергаться также и временная программа управления.

Наиболее простой является задача оптимизации системы регулирования по быстродействию, т. е. по минимуму времени переходного процесса при заданных начальных отклонениях и при отсутствии внешнего воздействия. Усложнение задачи возникает при усложнении критерия оптимизации в виде минимума функционала

1== fixu x ...,xn,u)dt (23.2)

или же при усложнении ограничений, задаваемых в виде неравенств

0\g (ху, X . . ., Хп, и) (23.3)

а также при повышении порядка уравнений системы и при наличии внепших воздействий. Внешние воздействия и начальные условия могут быть заданы в детерминированной форме или же вероятностными характеристиками.

Существуют различные методы оптимизации процессов управления и регулирования. Ниже будет в простейшем виде изложено использование принципа максимума Л. С Понтрягина [96], а затем последовательная оптимизация на базе нелинейного программирования, разработанная В. М. Пономаревым [105]. Другие важные направления развиты в работах Н. Н. Красов-ского [63] и др., ранее уже рассматривались работы А. М. Летова [77] и принцип динамического программирования Р. Беллмана [5]; см. также книги [60, 95, 1331.

преобразоба-твльная vac/пь регулятора

СшоВая часть регулятора

§ 23.2. Синтез оптимальной системы с использованием принципа максимума

Принцип максимума, используемьш в теории оптимальных систем, разработан школой Л. С. Понтрягина [96].

Допустим, что уравнения динамики системы автоматического регулирования заданы в следующей общей форме (нелинейной):

%- = /i(b з;2, . -я;п; Ml, 2, Wr) (i = 1, 2, ..., 7г) (23.4)

(без переменных во времени коэффициентов и без внешнего воздействия), где Ху, 2, . . ., ж - переменные, относящиеся к заданной части системы, включающей в себя регулируемый объект и не изменяемую в процессе синтеза часть регулятора; щ, и, . .., Ur - переменные, выражающие воздействия проектируемой части регулятора на заданную часть системы и называемые коротко управлениями. Неизменяемой частью регулятора может быть, например, его силовая часть (привод регулирующего органа); тогда щ, . . ., будут воздей ствиями измерительно-преобразовательной части регулятора на его силовую часть (рис. 23.1).

В заданные уравнения системы (23,4) не входят уравнения проектируемой преобразовательной части регулятора, которые должны быть найдены в процессе синтеза в виде зависимостей (закон регулирования)

Uj = uj (xj, Жа, . . ., х ) [j = 1, 2, . . ., г). (23,5)

Во всякой реальной системе величины управлений щ будут ограниченными, например,

I и,- К 1

или любой другой определенной областью допустимых значений.

Критерием оптимальности системы пусть будет минимум некоторого функционала

Рис, 23.1,

j /о {и 2, .. Хп, Щ, Ur) dt.

(23,6)

Для удобства решения задачи вводится дополнительная искусственная переменная Xq (t), определяемая уравнением

= /0(11 чЖ; щ, ...,Ur), (23,7)

ф , определяемые (i = 0, 1, .,.,;г). (23.8)

а также еще вспомогательные переменные ф) , \ру, линейньши однородными уравнениями

йфг -sn dfh (Xj, ...,Хп; щ, Ur) dT- ~ 2j toj

Если ввести теперь вспомогательную функцию И в виде

Ы (4]5o, , , . , Фтг; Жо, , , , , Хп, Щ, Ur) =

= S ФйД (Фо, .Лп, Хо, Хп, щ, Ur), (23.9)

то все уравнения (23.4), (23.7) и (23.8) можно объединить в одну систему, типа известной из механики системы уравнений Гамильтона, а именно:

=Wi ( = 0,Л, ...,п). (23.10)

=-11 ( = 0,1,...,п). (23.11)

Принцип максимума гласит, что для оптимальности системы, т. е. для получения минимума функционала / (23.6), необходимо существование таких ненулевых непрерывных функций фо (Oi Фп (0> что при любом t, находящемся в заданном интервале fо величина Н, как функция переменных щ, . . ., Ur, в заданной области их допустимых значений достигает максимума

Я = М (Фо, . . ., фп; Хо, . . ., Хп), (23.12)

причем Фо и М постоянны во времени и

Фо < О, М = 0. (23.13)

Для простейшего случая оптимальности - оптимальности по быстродействию - имеем /о F= 1, а функция Н принимает вид

Я = Фо -f Я,

Й = S ФйД (и Хп, щ, ..., Ur). (23.14)

В этом случае прежние искусственные величины с нулевыми индексами не нужны. Гамильтонова система уравнений принимает вид

$ = f: (.- = 1,2,...,), (23.15)

Ф=- (=1. 2, ..., ). (23.16)

Формулировка принципа максимума: для оптимальности системы по быстродействию необходимо существование таких ненулевых непрерывных функций Ф1 (t), . . ., ф,г {t), что для всех t в заданном интервале о функция Я переменных и, . . ., в заданной области их допустимых значений достигает максимума:

Н = М (Ф1, . . ., ф ; Ж1, . . . Хп), (23.17)

причем величина М постоянна во времени и

М > 0. (23.18)

Согласно приведенным формулировкам принцип максимума дает только необходимые условия оптимальности. Вопрос же о существовании ее и о случаях достаточности этих условий очень труден. Поэтому в практических приложениях заранее интуитивно предполагают достаточность по физическому смыслу исследуемой системы.

Применение принципа максимума проиллюстрируем сначала на двух простейших примерах, когда решение задачи доводится до конца в аналитической форме [96].

Пример 1. Система задана уравнением

= (23.19)