наложены на параметры системы, чтобы получить минимум дисперсии. При достаточно простом выражении для дисперсии это может быть определено непосредственным дифференцированием и приравниванием нулю частных производных.

В более сложных случаях приходится искать минимум дисперсии путем числового задания интересующих параметров и построения соответствующих графиков, а также расчетом на ЭВМ.

Другая постановка задачи нри расчете по критерию минимума среднеквадратичной ошибки заключается в том, что ставится вопрос о нахождении оптимальной структуры и значений параметров автоматической системы, нри которых обеспечивается получение теоретического минимума среднеквадратичной ошибки нри заданных вероятностных характеристиках полезного сигнала и помехи. Эта задача будет решена, если найти, например, передаточную функцию замкнутой системы Ф (jco), нри которой обеспечивается получение теоретического минимума среднеквадратичной ошибки. Задача относится к категории вариационных задач. Приведем здесь некоторые результаты ее решения [120] для случая, когда полезный сигнал g {t} и помеха / (f) представляют собой центрированные стационарные случайные процессы, приложенные на входе системы. Перед системой ставится задача преобразовывать входной сигнал g (t) так, чтобы на ее выходе воспроизводилась величина h (t), связанная с g (t) некоторой формулой преобразования

L Ih (t)] =H{p)L [g (t)],

где Н (р) - преобразующий оператор.

Так, например, при Н (р) = - получится задача интегрирования входного сигнала, при Н (р) = р - задача дифференцирования, нри Н (р) = i - задача простого воспроизведения со сглаживанием помехи (обычная следящая система нри наличии помех), при Н (р) = еР - статистическое упреждение (предсказание) и т. п.

На основании изложенного ошибку системы можно представить в виде

x(t)=h it) - у it). (11.130)

Выходная величина системы регулирования

y(t)= J (p{t~x)w{r)dT, (11.131)

- оо

где ц> (t) = g (t) + f (t), a w (t) - весовая функция замкнутой системы. Подставляя (11.130) и (11.131) в формулу (11.129), получаем

Т оо

=lim-2 J h(t)~ J (f{t-T)w{T)drJdt. (11.132)

roo

Задача заключается в том, чтобы найти частотную передаточную функцию замкнутой системы, связанную с весовой функцией преобразованием Фурье

Ф (;©) = J и; (г) е -5<* , (11.133).

таким образом, чтобы минимизировать значение ж.

+ w{X)dX w(y)dvlim J (p{t - X)(f{t-v)dt. (11.134)

Введем корреляционные функции:

(т) = lim 4г \ h{t + r)h (t) dt, (И .135)

Дф(т) = ит (f{t + r){t)dt = Rg{x) + Rf(T) + Rgf{x) + Rfg{T), (11.136)

+ 00

Д<р (т) = lim -i ( /I (f + т) Ф (t) dt= R g (т) + (т). (11.137)

Т-оо

- оо

Этим корреляционным функциям соответствуют спектральные плотности Sh (сй), (сй), Sg (со), Sf (со), (со), (со), Sf (со) и (со). Кроме того,

limr ( ht)dt = RAO). -т

В результате выражение (11.134-)уРОжно преобразовать к виду

сх) оо . СХ)

72=Дл(0)~2 J K;(?i)i?ft(?i)£?i-f J ы;(?1)сг?1 J w (v) R {X~v) dv. (11.138)

- oo -oo -oo

Так как в реальных системах w (t) = О при < О, то нижние пределы интегрирования в (11.138) надо положить равными нулю. В результате получим

оо оо оо

= Дл(0)-2 J w(X)Rh{X)dX+ w{X)dX J w (v) R{X--v) dv. (11.139)

0 0 0

Из последнего выражения видно, что оптимальная весовая функция, соответствующая минимуму среднего квадрата ошибки, определяется только видом корреляционных функций полезного сигнала и помехи.

Можно показать [120], что необходимое и достаточное условие минимизации выражения (11.139), которое должно быть наложено на весовую функцию, заключается в том, чтобы она была решением интегрального уравнения Винера - Хопфа

(т) - 5 (т- ?1) ы; {X) dX=0, т>0. (11.140)

Оптимальная передаточная функция (11.133), соответствующая оптимальной весовой функции, являющейся решением уравнения (11.140), может быть представлена в виде

оо оо

Раскроем в выражении (11.132) скобки и изменим порядок интегрирования:

Т оо Т

х = Пт4г ( h(t)dt-2 ( ы; (?i) lim 4г ( h{t) ц> (t-X) dt +

т-оо T->oo

или, в другом виде.

- А (1+/асй)(1-/<гсй)

¥ (70)) ¥* (7со) = I ¥ (/со) р = (со). (11.142)

В частном случае, когда преобразуюпий оператор Н (р) = 1, т. е. в так называемом случае оптимального сглаживания, имеем

(со) = Sg (со) + Sf (со) + Sgf (со) + Sfg (со), Sn<p ( ) = (со) = Sg (со) + (со).

В этом случае решение (11.141) может быть представлено в более простом виде:

Числитель этого выражения определяется следующим образом. Рас--смотрим следующее выражение:

Ч* (/со) = 2 а-щ + S ш+аг + 2 а-уг (11.144)

г=1 i=l i=l

Бдесь т)г - полюсы Sg (со), расположенные в верхней полуплоскости, i-ai) - полюсы Sg (со), расположенные в нижней полуплоскости, причем полюсы предполагаются простыми, а - нули (/со). Тогда

При реализации в системе оптимаЙой передаточной функции получится теоретический минимум среднего квадрата ошибки. Этот минимум определяется выражением

= i J g (со) -1Ф (/со) р 5ф (со)} dco (И .146)

- СХ)

яли, в другом виде,

= i ( -s ( ) -1 о ) I} . (11.147)

- оо

Рассмотрим иллюстративный пример. Предположим, что полезному сигналу и помехе на входе системы регулирования соответствуют спектральные плотности:

S,H=-, Sf{o)=N,

причем корреляция между ними отсутствует и Sgf (со) = Sfg (со) = 0. Найдем спектральную плотность, соответствующую (11.136):