не требуется. В частном случае, когда до приложения воздействия система находилась в покое, предначальные условия нулевые и выражение (7.33) приобретает вид

X {p)4wF(p) = W(p)F{p). (7.35)

Только зто выражение и позволяет строго сформулировать понятие передаточной функции W (jo) как отношение изображений входной и выходной величин при нулевых предначальных условиях.

Кроме того, преобразование Лапласа в случае, когда нижний предел интегрирования стремится к нулю, оставаясь отрицательным (а < 0), позволяет учитывать наличие в рассматриваемой функции при = О особенностей типа 6-функции. Так, например, изображение единичной 6-функции оказывается равным единице:

{ 6(i)e-*di = l,

а изображение ее производной п-го порядка

f. <

J 6< (0e-P*df = /7 .

Влияние особенностей / (t) и ее первых т производных, где т - порядок полинома N (р), на изображение N (р) f \t) в этом случае и проявляется в виде автоматического учета начальных условий, которыебудут иметь место справа (при t= + 0) в самом изображении N (р) F (р) без введения дополнительного члена Dp(p) при нулевых предначальных условиях или без его изменения при ненулевых предначальных условиях. В связи с этим 6-функ-ция иногда называется также функцией начальных условий.

В дальнейшем изложении под преобразованием Лапласа будет пониматься именно этот случай (а <Z 0).

Зная изображение искомой величины X (р) в виде (7.33) или (7.35), можно найти оригинал х (t). Это и будет решением исходного дифференциального уравнения (7.32).

Для отыскания оригинала х (t) по его изображению X (р) можноТполь-зоваться таблицами изображений и существующими теоремами, в частности теоремой разложения, которая устанавливает следующее. Если изображение Лапласа имеет вид отношения двух многочленов

Х{Р)-, (7.36)

то при отсутствии нулевых корней знаменателя

-(*)=2ilgf-. (7-37)

где Ph - некратные корни знаменателя (7.36).

Если знаменатель изображения Лапласа (7.36) имеет рулевой корень (Ро = 0) то изображение надо представить в виде

(>=таГ- (7.38)

W{p)==wit)e-4t. о

Тогда оригинал может быть найден по формуле

Аналогичным образом теорема разложения может быть записана и для преобразований Карсона - Хевисайда. Так, например, если изображение искомой величины может быть представлено в виде отношения двух полиномов

{р) = Х{р) = , . . (7.40)

то при отсутствии нулевых и кратных корней знаменателя оригинал будет определяться выражением

Это выражение полностью совпадает с формулой (7.39), так как изображения Лапласа (7.38) и Карсона - Хевисайда (7.40) отличаются на множитель р.

Использование изображений часто называют также операторным методом, хотя в действительности операторному методу, разработанному Хеви-сайдом, оказывается полностью аналогичным использование только преобразований Карсона - Хевисайда (7.21) и (7.22).

Метод использования изображений обладает тем преимуществом, что в нем полностью сохраняется лишь одна операция - вычисление корней характеристического уравнения (знаменателя изображения). Что касается определения произвольных постоянных интегрирования, то эта операция отпадает, потому что начальные условия автоматически учитываются в процессе решения с самого начала (при нахождении изображения искомой величины). Поэтому этот метод оказывается удобным и tero часто применяют в задачах теории регулирования.

Практически важной для отыскания оригинала решения является еще теорема свертывания. Она гласит следующее. Если изображение представляет собой произведение

X (р) = Xl {р) Za (р), (7.42)

то оригинал выражается формулой

x{t)=[ xi{x)x2{t-i)dx, (7.43)

где т представляет собой вспомогательное время интегрирования.

В частности, пусть для некоторой системы с передаточной функцией W{p) известна реакция на единичную импульсную функцию 6 (t) = 1 представляющую собой функцию веса и связанную с W (р) преобразованием Лапласа

§ 7.5. Использование вещественных частотных характеристик

Опишем метод приближенного построения кривой переходного процесса вуавтоматической системе (при воздействиях в виде скачка и импульса) по заданной вещественной частотной характеристике замкнутой системы, разработанный В. В. Солодовниковым в 1948 году [121]. Этот способ полезен тогда, когда расчет системы ведется с самого начала частотными методами. Он совершенно необходим, если известны уравнения не всех звеньев системы а часть из них задается экспериментально снятыми частотпьвди характеристиками.

На основании интеграла Фурье (7.16) оригинал искомой величины может быть представлен в виде

-J-00 --оо

;() = i I ( ) = 4г j (7.45)

где X (/< ) - изображение Фурье искомой функции времени х (t). а

ф(7Сй) = Рф(сй) +/5(0)) (7.46)

- частотное изображение искомой величины, полученное из изображения Карсона - Хевисайда ф {р) подстановкой р = /со.

Однако использовать интегральную зависимость (7.45) можно только в том случае, когда все полюсы функции X (/со) лежат в левой полуплоскости. Тогда интегрирование может вестись по мнимой оси. Это значит, что для преобразования Лапласа (7.18) абсцисса абсолютной сходимости с = О ж р = /со.

В действительности изображение Фурье X (/со) даже для устойчивой системы, когда все полюсы передаточной функции системы лежат в левой полуплоскости, может иметь полюсы на мнимой оси за счет входного воздействия. Так, например, пусть передаточная функция системы имеет вид

причем а > О и > 0. Полюсы этой передаточной функции лежат в левой полуплоскости.

Если па вход этой системы поступает некоторая функция времени / (t), изображение которой F (р), то изображение выходной величины будет

Х{р)= W{p)F{p).

Тогда функция времени па выходе может быть найдена по интегралу свертьшания (7.43), который совпадает с интегралом Дюамеля (4.9):

x{t) = J ы; (т) / (i- т) cZt= J / (т) w {t-t) dt. (7.44)

Если входная функция определена только для положительного времени (прикладывается на вход в момент времени = 0), то функция f {t - т) отлична от нуля только при i t. В этом случае верхний предел интеграла в формуле (7.44) может быть заменен па бесконечность и она приобретает вид

x(t) = w (т) f{t~x) dr. (7.44)