- CXI -oo

где W2 (x, t; x, tj) - двумерная плотность вероятности.

Иногда под корреляционной функцией понимают центральный корреляционный момент X (t) жх (tj), т. е.

R0 it, ti) = М [{х (t) -x{t)} [х {ti) ~x{ti)}] =

CXI оо

= { [x{t)-{t)][x{ti) -x{ti)]w2{x,t; Xi, ti)dxdxi. (11.7)

- oo -oo

в этом случае корреляционная функция (11.46) может быть представлена в виде суммы

R (t, ti) = x{t)x (fi) + i? (t, ti). (11.48)

Корреляционная функция является весьма универсальной характеристикой для случайного процесса. Она определяет зависимость случайной величины в последующий момент времени х (t) от предшествующего значения X (t) в момент времени t. Это есть мера связи между ними.

Рассмотрим основные свойства корреляционных функций.

1. Из определения корреляционной функции (11.46) и (11.47) следует свойство симметрии: R {t, ti) = R {ty, t) и i? (t, t) = R° {t, t).

2. При ti = t корреляционная функция R {t, t дает средний квадрат случайной величины, а R° {t, tj) - дисперсию:

R{t, t)==M[x{t)] = x{t), RO{t, t)=Ml{x{t)~x{t)}] = D{t).

3. Можно показать, что прибавление к случайным величинам произвольных неслучайных величин не меняет их корреляционных моментов и дисперсии. Поэтому корреляционная функция R° {t, ti) не изменится, если к случайной функции добавить произвольную неслучайную функцию. Это свойство не относится к функции R {t, tj), так как добавление неслучайных величин к случайным изменяет начальные моменты. В этом случае корреляционная функция будет равна сумме корреляционных функций случайной и неслучайной функций.

Иногда в рассмотрение вводится нормированная корреляционная функция

p(t,ti)=MM=. (11.49)

. уп It) D {ti) >

Аналогично корреляционной функции можно ввести понятие взаимной корреляционной функции для двух случайных величин х (t) ж у (t):

Rxy{t, ti) = M[x{t)y{ti)], Rlyit, ti) = M{{x{t)-x{t)}{y{ti)~y{ti)}\.

(11.50)

В случае тождественного равенства нулю взаимной корреляционной функции случайные функции х (f) ж у (t) называют некоррелированными.

§ 11.4. Корреляционная функция

Начальный корреляционный момент двух значений случайной функции X {t) VIX (ti), взятых в моменты времени t и ti, носит название корреляционной (автокорреляционной) функции. Она может быть найдена аналогично (И 31) из выражения

R{t, ti)=M[x{t)x{ti)]= J J x{t)x{ti)w2{x, t; x, ti)dxdxi, (11.46)

§11.4] КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ 311

i? (т) = [X (t) - Ж] [X {t + т) ~1с] = lim 4г ( [х (t)-X] [х {t + т) - ж] dt.

(11.51)

Для стационарного процесса корреляционная функция определяет зависимость случайной величины х в последующий момент времени f -f т от предшествующего значения в момент t.

Приведем основные свойства корреляционной функции стационарного процесса применительно к величине R (т).

1. Корреляционная функция является четной функцией, т. е. R (-т) == = R {%). Это вытекает из самого определения корреляционной функции.

2. При т = О корреляционная функция дает средний квадрат случайной величины:

Д (0) = ж (О X {t) = ж2.

3. При т оо корреляционная функция дает квадрат среднего значения случайной величины. Докажем это. На основании эргодической гипотезы

Д (т) = ж (i) ж ( -j- т) = j j XiXiOz (ж1, Ж2, т) dxi dx-

ОС: -оо

При т оо величины Xi и Жг можно считать независимыми. Отсюда, принимая во внимание формулу (11.39) для независимых случайных величин, получим

-j-сю -j-сю

Д(оо)= j Xiw{xi)dXi j xw(xz) dx2= {х)= {х).

- oo -oo

4. Значение корреляционной функции при т = О является ее наибольшим значением, т. е. имеет место неравенство R {0) R (т). Докажем это. Рассмотрим очевидное неравенство

[ж (t) -~x{t + т)]2 > 0.

Сделаем преобразование

ж (t) -f жМ + т) > 2ж {t) x{t + т).

Возьмем теперь среднее по времени от правой и левой частей. В результате получим:

ж (t) + x-{t + T:)= 2ж2 = 2R (0)., 2ж {t) x{t + x) = 2R (т), откуда и вытекает следующее неравенство: R (0) R (т).

Если взаимная корреляционная функция отлична от нуля, то х (t) и у (t) носят название коррелированных случайных функций.

В случае стационарности процесса корреляционные функции R {t, ti) и i? {t, ti) не будут зависеть от текущего значения времени t и будут определяться только временным сдвигом т = - t.

С учетом эргодичности стационарного процесса корреляционной функцией можно назвать среднее по времени от произведения х (t) ш х {t + т) или X (t) - X ж X {t -\- %) - х:

R{%)=x{t)x{t+%) = lim4r \ x{t)x{t + %)dt.

5. Значение корреляционной функции чаще всего будет тем меньше, чем больше промежутки времени т, так как связь между далеко отстоящими друг от друга значениями х будет обычно слабее.

6. Чем менее инерционен (более подвижен) объект наблюдения, тем быстрее убывает R (т) с увеличением т. Например, у самолета, как подвижной цели, связь между последующими и предыдущими положениями (при заданном т) будет тем меньше, чем он легче и маневреннее. Отсюда следует, что, чем быстрее убывает корреляционная функция, тем более высокие частоты будут присутствовать в случайном процессе.

На рис. 11.14 в качестве примера приведены две корреляционные функции и две соответствующие им реализации процесса при одинаковых среднеквадратичных значениях случайной величины. Второй процесс по сравнению с первым имеет более тонкую структуру, т. е. в нем присутствуют более высокие частоты.

Таким образом, при известной корреляционной функции легко определяются следующие вероятностные характеристики:

а) среднее значение (момент первого порядка)

x = x=Vi? (оо);

б) среднеквадратичное значение (момент второго порядка)

2=?==Д(0);

в) дисперсия

D =R{0)-R (оо);

г) среднеквадратичное отклонение

Рис. 11.14.

о = У R{0) - R {оо).

Корреляционную функцию можно найти на основании экспериментально снятой кривой случайного процесса при наличии достаточно длительной записи (рис. 11.15). Обработка имеющейся осциллограммы производится следующим образом. Весь интервал записи осциллограммы т делится на N равных частей, дли- q-тельность которых составляет

Рис. 11.15.

Затем для различных значений т = mAt находятся средние значения произведений ординат: