Наиболее полно теория игр разработана для конечных игр, для которых характерно конечное число ходов и, следовательно, конечное число возможных стратегий.

В управляющих машинах в настоящее время используются игровые алгоритмы двух видов.

Игровые алгоритмы первого вида используются в системах с набором шаблонных решений. Идея здесь заключается в том, что все возможные решения заранее исследуются и нумеруются. Задачей управляющей машины является выбор такого решения, для которого в сложившейся ситуации будет получено максимальное значение функции выгоды. Недостатком такого принципа является малая гибкость и приспособляемость игровой системы в условиях широкого изменения складывающейся обстановки ведения игры.

В игровых системах второго вида используется идея динамического программирования. Для динамического программирования характерным является решение задачи оптимальности по отдельным этапам и шагам. Поиск оптимального выбора на каждом этапе осуществляется управляющей машиной. Процесс управления в игровой системе с динамическим программированием является замкнутым дискретным процессом. Результат выполнения команд управления на предыдущем этапе является исходным для формирования команд управления на следующем этапе.

Игровые системы автоматического управления являются высшими формами систем управления вообще. Следует ожидать, что в ближайшем будущем они могут найти прхшенение как в военной технике, так и в народном хозяйстве.

Наиболее разработана теория так называемых дифференциальных игр. К ним относятся: задача преследования одного управляемого объекта другим, задача приведения управляемого объекта в некоторое заданное состояние при действии заранее неизвестных возмущений, задача управления объектом при неполной текущей информации о его состоянии и другие родственные задачи. Предполагается при этом, что отыскиваются оптимальные решения всех этих задач. Наиболее полно теория дифференциальных игр разработана в монографии Н. Н. Красовского [64].

Обычно рассматривается следующая конфликтная ситуация. Два партнера (игрока) могут управлять процессами в некоторой динамической системе, которая описывается дифференциальными уравнениями, представленными в матричной форме:

ж == / (/, ж, и, V), (25.33)

где ж - совокупность фазовых координат, и ж v - управления, которыми могут распоряжаться соответственно первый и второй игроки. Так, например, если рассматривается преследование одного управляемого объекта другим, то X соответствует совокупности фазовых координат двух объектов, а и м V - управления одного и другого объектов.

Игра начинается в момент t ~ tg ж считается законченной при t = когда точка [t, ж) попадает на заданное многообразие N в рассматриваемом фазовом пространстве.

Задача первого игрока - закончитъ игру с минимальным значением показателя качества (функционала), называемого также платой за игру,

/ = f А {t, ж, и, V) dt + h \х (ti)), (25.34)

где /i и - известные функции.

Задача второго игрока - помешать приведению точки (t, х) на заданное многообразие N или, при невозможности достичь этого, по крайней мере увеличить плату за игру (25.34).

Ограничения, которые обычно имеют место, задаются в большинстве случаев в виде ограничений на возможные управления: и U л v £ V, где и VI V ~ некоторые замкнутые области в пространствах управлений и ж v. Могут существовать ограничения и для фазовых координат.

Пусть и и V ~ допустимые стратегии, которые могут выбирать игроки. Если первый игрок выбрал стратегию U = 17., то наихудший результат для него будет при выборе вторым игроком стратегии V = V*, максимизирующей плату за игру (25.34),

/(f/ F*) = щах / {U V) = 11 (U,). (25.35)

Величина ц (U) соответствует самому большому проигрышу первого игрока, если он принял U = U.. Естественно, что первый игрок будет искать такую стратегию U = С/ , для которой т) ([/ ) = min i] (С/) для всех допустимых стратегий U. Из этого следует, что первый игрок должен выбирать стратегию из условия

т) (С/О) =. min max / {U, V), (25.36)

и V

что соответствует оптимальному решению так называемой минимаксной задачи. Так как возможен случай, когда в допустимых стратегиях V нет такой стратегии F*, которая давала бы максимум выражению (25.35), то формулу (25.36) следует записать в виде

т) (f/o) = min sup / ( 7, F). (25.37)

и V

Для второго игрока аналогичным образом необходимо найти оптимальную максиминную стратегию F = F из условий

(F0) = max я]; (F), -ф (F) = inf / (U, F). (25.38)

в этом случае второй игрок обеспечит себе выигрыш не меньше значения

ф(F<) = maxinf/(С/, F). (25.39)

V и

Первый игрок не может иметь гарантии, что его проигрыш будет меньше, чем минимальный выигрыш ф (F ), который в соответствии с (25.39) гарантируется второму игроку. Поэтому 11 (С ) я]; (F ). В случае равенства 1] (С/ ) = ф (F ) возникает так называемая седлоеая точка игры, для которой

/{U\ F)</{U\ Fo)<(C7, F ), (25.40)

a также

min max / (U, V) = max min / (f7, F) = / IW, Fo). (25.41)

и V V и

Оптимальные стратегии U° и F , соответствующие седловой точке игры, определяют для каждого игрока наилучпшй способ действий. Отклонение любого из игроков от оптимальной стратегии (при условии, что второй игрок придерживается своей оптимальной стратегии) может только ухудшить его результат.

Оптимальные минимаксная и максиминная стратегии С/ и F , не соответствующие седловой точке игры, не обладают подобным свойством.

Примеры дифференциальных игр и методы решения таких задач, как конфликтная задача сближения, игровая задача наведения, информационная игровая задача, задача оптимального преследования и уклонения и др. изложены в работе [64].

ПРИЛОЖЕНИЕ 1 ТАБЛИЦА Л-ФУНКЦИИ