Выражение

называется передаточной функцией замкнутой системы или главным оператором. Передаточная функция замкнутой системы дает связь между регулируемой величиной и задающим воздействием при равенстве нулю возмущающих воздействий:

у(0 = Ф(р)(г)=-г(г)- (5.18)

Выражение

называют передаточной функцией замкнутой системы по ошибке. Оно дает связь между ошибкой .и задающим воздействием в замкнутой системе при равенстве нулю возмущающих воздействий:

. it) = Mgit) = -j0j- (5-20)

Как и ранее, формулы (5.15), (5.16), (5.18) и (5.20) представляют собой символическую (операторную) запись дифференциальных уравнений. Более строго передаточную функцию замкнутой системы можно определить как отношение изображений регулируемой величины У (р) и управляющего воздействия G (р) при нулевых начальных условиях и отсутствии внешних возмущений:

(Р) = Ш (-

а передаточную функц1по по ошибке - как отношение изображений ошибки XJp) и управляющего воздействия G (р):

(р)=Ш (-

также при нулевых начальных условиях и отсутствии внепших возмущений.

Из формул (5.15) и (5.16) видно, что введение автоматического регулирования уменьшает отклонение регулируемой величхшы под действием возмущающих воздействий в [1 -f- (р)] раз по сравнению с отклонением в разомкнутой системе (5.9), когда цепь регулирования разорвана и автоматическое регулирование отсутствует.

Передаточная функция разомкнутой системы может быть представлена в виде дробно-рациональной функции от оператора р. В результате сравнения формул (5.2) и (5.16), а также (5.5) и (5.15) видно, что полиномы R (р) и С (р) в выражении (5.10) совпадают с аналогичными полхшомами в дифференциальных уравнениях, приведенных в предыдущем параграфе.

Полином

D{p)=R{p) + Q (р) (5.23)

называется характеристическим.

Приравнивание нулю характерист1[ческого полинома дает характеристическое уравнение системы:

Dip) = R (р) + С (Р) = 0. (5.24)

И ДЛЯ ошибки

§ 5.3] ЗАКОНЫ РЕГУЛИРОВАНИЯ 107

Оно может быть записано в более удобной форме, которая непосредственно получается из (5.15) или (5.16)-

l + W{p) = 0, (5.25)

так как характеристическое уравнение системы есть знаменатель операторного решения, приравненный нулю.

Из рассмотренного видно, что знание передаточной функции разомкнутой системы позволяет найти выражение для ошибки и регулируемой величины в функции задающего и возмущающих воздействий, а также характеристическое уравнение системы.

Передаточная функция разомкнутой системы может находиться непосред- . ственно по структурной схеме и передаточным функциям входящих в нее звеньев (см. ниже, § 5.4) или по какому-либо соотношению, связывающему передаточную функцию разомкнутой системы с другими функциями:

по передаточной функции замкнутой системы (5.17)

по передаточной функции для ошибки (5.19)

по дифференциальному уравнению для ошибки (5.2) или по дифференциальному уравнению для регулируемой величины (5.5)

ЛР- Qip) ~ QiP) -D(p)-R(p) (-f

§ 5.3. Законы регулирования

Под законом регулирования или - в более общем случае - законом управления понимается алгоритм или функциональная зависимость, в соответствии с которыми управляющее устройство формирует управляющее воздействие и (t). Эта зависимость может быть представлена в виде

u{t) =F {X, g, f), (5.29)

где F - некоторая, в общем случае нелинейная, функция от ошибки х задающего воздействия g и возмущающего воздействия /, а также от их производных и интегралов по времени.

Формула (5.29) обычно может быть записана следующим образом:

и (t) = (х) + F, (g) + F, if). (5.30)

Первое слагаемое (5.30) соответствует регулированию по отклонению (принцип Ползунова - Уатта), второе и третье - регулированию по внешнему воздействию (принцип Понселе).

Здесь мы рассмотрим только линейные законы, когда управляющее устройство вырабатывает величину и (t) в функции ошибки в соответствии с линейной формой

u{t) = kix -{-kj xdt + ksjj хdt+ ...-\-кх + к5Х+ ... (5.31) или в операторной записи

u{t) = hx+x+-!x+...+ hpx + к,рх +... (5.32)

Регулирование по внешнему воздействию будет рассмотрено в § 9.2.

Предположим вначале, что регулируемый объект представляет собой звено статического типа. Это означает, что в установившемся состоянии между регулируемой величиной и управляющим воздействием существует пропорциональная зависимость, вьггекающая из (5.8) при равенстве нулю возмущающих воздействий:

Ууст - koUyai,

где ко = Wo (0) - коэффициент передачи объекта.

1. Пропорциональное регулирование. В случае пропорционального регулирования выражение (5.7) для простейшей безынерционной цепи регулирования (см. рис. 5.1) приобретает вид

и it) = VFper (р) X it) = kiX {t). (5.33)

Передаточная функция VFper ip) может иметь более сложный вид, например:

wr(p)=k,4,

где А (р) ж В (р) - некоторые полиномы от оператора р.

Однако существенным здесь является то обстоятельство, что цепь регулирования представляет собой позиционное (статическое) звено и при р -> О передаточная функция PFper (р) i, где к - коэффициент передачи цепи регулирования ).

В связи с изложенным здесь и далее ради облегчения анализа рассматривается упрощенное выражение (5.33), которое является справедливым, по крайней мере, для медленных изменений величины х.

Передаточная функция разомкнутой системы

W (р) = VFper (Р) Wo (р) = hWo (р).

В установившемся состоянии передаточная функция стремится к значению

limW{p) = kiko = K. (5.34)

Эта величина называется общим коэффициентом усиления разомкнутой системы. Коэффициент усиления является безразмерной величиной, так же как и передаточная функция разомкнутой системы. Это вытекает из соотношения (5.11).

Коэффициент усиления разомкнутой цепи (рис. 5.1) физически представляет собой отношение установившегося значения регулируемой величины к постоянному значению ошибки х = х, если цепь регулирования совместно с регулируемым объектом рассматривать как некоторый усилитель, на входе которого действует сигнал в виде ошибки х, а на выходе - усиленный сигнал у. Таким образом, для коэффициента усиления можно записать

Ууст

Для установившегося состояния замкнутой системы при постоянном задающем воздействии = go из формулы (5.16) может быть получено следующее соотношение:

где Жуот - установившаяся (статическая:) ошибка, ж/

уст - установившееся

значение ошибки от возмущающих воздействий в объекте без регулирования.

1) Заметим, что режим р О соответствует установившемуся режиму, так как приравнивание ©ператора дифференцирования нулю означает приравнивание нулю всех производных.