Главная ->  Логарифмическое определение устойчивости 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 [ 130 ] 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254

§ 13.2. Нахождение функции веса и построение переходных процессов

Функция веса системы с переменными параметрами является исчерпывающей характеристикой этой системы, и нахождение ее важно но следующим соображениям. Функция веса характеризует протекание временных процессов в системе регулирования, и но ее виду можно судить о качестве регулирования, аналогично тому, как это делалось для систем с постоянными параметрами (§ 8.4). По имеющейся функции веса можно определить время протекания переходного процесса, как характеристику быстродействия, и склонность системы к колебаниям.

Кроме того, по имеющейся функции веса можно строить процесс на выходе системы регулирования нри заданных входных воздействиях, не производя нри этом каждый раз полного решения исходного уравнения (13.1). В соответствии с формулами (13.9) и (13.11) для этой цели необходимо иметь сопряженные функции веса.

переходе к реверс-смещению получаем полное совпадение двух функций веса - нормальной и сопряженной: w (т) = w (6).

Пусть на систему (13.1) с функцией веса w (t - &) действует входной сигнал / {t). Элементарная реакция на выходе системы в произвольный момент времени f & будет

dx{t) = w{t - &, &)f d-Q: (13.8)

Полный сигнал на выходе линейной системы определяется как суперпозиция элементарных реакций интегрированием (13.8) в пределах от О до t:

x(i)= j y;(Z--&,-&)/()d. (13.9)

Так как нри & > Z функция веса равна нулю, то выражение (13.9) можно также записать в виде

ж (О = J w (f - #) / {&) d. (13.10)

Из двух последних выражений видно, что в интегральном уравнении связи между входной и выходной величинами используется сопряженная функция веса (13.6), т. е. разрез рельефа функции веса (рис. 13.2, б) вдоль аргумента &.

Если использовать реверс-смещение 6 = - &, то интегральная связь (13.9) может быть представлена в виде интеграла свертки

x{t)=\ w{e, t~e)f(t-Q)dQ. (13.11)

Как уже отмечалось, в случае постоянства параметров системы функция веса зависит только от времени {t - &). В этом случае формула (13.11) переходит в интеграл свертки (7.44)

ж (г) = J и; (0) / (i - е) de = J w (т) / (i - т) dT.



Ввиду сложности проблемы существующие методы позволяют пока решать задачу на:!?ождения функции веса в численном виде. Только для систем регулирования, описываемых дифференциальными уравнениями первого и иногда второго порядков, удается решать задачу в общем виде. Поэтому в некоторых случаях приходится сложную систему с переменными параметрами приближенно сводить к более простой системе, движение которой описьшается уравнением не вьппе второго порядка.

Следует заметить, что большинство систем регулирования с переменными параметрами относится к так называемы.м квазистационарным системам, или системам, параметры которых меняются сравнительно медленно. В подобных системах коэффициенты дифференциального уравнения (13.1) мало меняются в течение времени переходного процесса, определяемого временем затухания нормальной функции веса.

Дифференциальное уравнение первого порядка. В некоторых случаях для оценки вида переходных процессов системы с переменными параметрами ее уравнение приближенно можно свести к дифференциальному уравнению первого порядка

+ P(t)x = Q(t). (13.12)

Это уравнение имеет аналитическое решение X (t) = е-ад [ J (*) еЭД dt + С

(13.13)

S{t)= Р {t) dt,

а С - постоянная интегрирования.

Пусть, например, имеется уравнение

t- + aiX = f{t).

(13.14)

Определим для него семейство переходных характеристик h {t - =

= h (т, &). Для единичной ступенчатой функции при & = О уравнение (13.14) можно записать в следующем виде:

+ ах = 1{г-Щ.

Приведем его к виду (13.12): Далее получаем:

--- .

P{t)=, S{t)==\ P{t)dt=\dt=ailnt, eSH)f\ е-ад=Г% (i)=liI, [ Q{t)eS<-t)dt = - .

Ha основании формулы (13.13) получаем

L 1



Окончательно получаем

Дифференцируя последнее выражение по &, можно получить функцию веса:

или в ином виде:

ai-l

W (т, &)=

Для дифференциального уравнения (13.12) можно сразу найти функцию веса из общего решения (13.13), если положить в (13.12) входной сигнал равным единичному смещенному импульсу Q (t) = 8 (t - &). Проделав необходимые выкладки, получаем]

li; (Z - &, &) = е-я(*Л ), (13.15)

i? (i, &) = J Р (t) dt.

Распространим этот результат на более общий случай записи дифференциального уравнения в виде

о (О - J + 1 (*) = Ьо it) f it). (13.16)

Приведем его к виду (13.12):

+ xf(t). (13.17)

Положив f (t) = 6 (t - &), получим для функции веса решение в виде

;(*-&, &)=-e-K(t. в), (13.18)

R{t, ) = J

ao(t)

Рассмотрим снова в качестве примера уравнение (13.14). Приведем его к виду (13.17):

Обратившись к формуле (13.18), находим

R(t, = jdt = ailjx

При нулевых начальных условиях (для t = &) должно быть h (О, &) = 0. Отсюда определяется постоянная интегрирования



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 [ 130 ] 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254