Обновления
Хрущовки
Архитектура Румынии
Венецианское Биеннале
Столица Грац
Дом над водопадом
Защита зданий от атмосферных осадков
Краковские тенденции
Легендарный город Севастополь
Новый Париж Миттерана
Парадоксы Советской архитектуры
Реконструкция города Фрунзе
Реконструкция столицы Узбекистана
Софиевка - природа и искусство
Строительство по американски
Строительтво в Чикаго
Тектоника здания
Австрийская архитектура
Постмодернизм в Польше
Промышленное строительство
Строительство в Японии
Далее
|
Главная -> Логарифмическое определение устойчивости § 13.2. Нахождение функции веса и построение переходных процессов Функция веса системы с переменными параметрами является исчерпывающей характеристикой этой системы, и нахождение ее важно но следующим соображениям. Функция веса характеризует протекание временных процессов в системе регулирования, и но ее виду можно судить о качестве регулирования, аналогично тому, как это делалось для систем с постоянными параметрами (§ 8.4). По имеющейся функции веса можно определить время протекания переходного процесса, как характеристику быстродействия, и склонность системы к колебаниям. Кроме того, по имеющейся функции веса можно строить процесс на выходе системы регулирования нри заданных входных воздействиях, не производя нри этом каждый раз полного решения исходного уравнения (13.1). В соответствии с формулами (13.9) и (13.11) для этой цели необходимо иметь сопряженные функции веса. переходе к реверс-смещению получаем полное совпадение двух функций веса - нормальной и сопряженной: w (т) = w (6). Пусть на систему (13.1) с функцией веса w (t - &) действует входной сигнал / {t). Элементарная реакция на выходе системы в произвольный момент времени f & будет dx{t) = w{t - &, &)f d-Q: (13.8) Полный сигнал на выходе линейной системы определяется как суперпозиция элементарных реакций интегрированием (13.8) в пределах от О до t: x(i)= j y;(Z--&,-&)/()d. (13.9) Так как нри & > Z функция веса равна нулю, то выражение (13.9) можно также записать в виде ж (О = J w (f - #) / {&) d. (13.10) Из двух последних выражений видно, что в интегральном уравнении связи между входной и выходной величинами используется сопряженная функция веса (13.6), т. е. разрез рельефа функции веса (рис. 13.2, б) вдоль аргумента &. Если использовать реверс-смещение 6 = - &, то интегральная связь (13.9) может быть представлена в виде интеграла свертки x{t)=\ w{e, t~e)f(t-Q)dQ. (13.11) Как уже отмечалось, в случае постоянства параметров системы функция веса зависит только от времени {t - &). В этом случае формула (13.11) переходит в интеграл свертки (7.44) ж (г) = J и; (0) / (i - е) de = J w (т) / (i - т) dT. Ввиду сложности проблемы существующие методы позволяют пока решать задачу на:!?ождения функции веса в численном виде. Только для систем регулирования, описываемых дифференциальными уравнениями первого и иногда второго порядков, удается решать задачу в общем виде. Поэтому в некоторых случаях приходится сложную систему с переменными параметрами приближенно сводить к более простой системе, движение которой описьшается уравнением не вьппе второго порядка. Следует заметить, что большинство систем регулирования с переменными параметрами относится к так называемы.м квазистационарным системам, или системам, параметры которых меняются сравнительно медленно. В подобных системах коэффициенты дифференциального уравнения (13.1) мало меняются в течение времени переходного процесса, определяемого временем затухания нормальной функции веса. Дифференциальное уравнение первого порядка. В некоторых случаях для оценки вида переходных процессов системы с переменными параметрами ее уравнение приближенно можно свести к дифференциальному уравнению первого порядка + P(t)x = Q(t). (13.12) Это уравнение имеет аналитическое решение X (t) = е-ад [ J (*) еЭД dt + С (13.13) S{t)= Р {t) dt, а С - постоянная интегрирования. Пусть, например, имеется уравнение t- + aiX = f{t). (13.14) Определим для него семейство переходных характеристик h {t - = = h (т, &). Для единичной ступенчатой функции при & = О уравнение (13.14) можно записать в следующем виде: + ах = 1{г-Щ. Приведем его к виду (13.12): Далее получаем: --- . P{t)=, S{t)==\ P{t)dt=\dt=ailnt, eSH)f\ е-ад=Г% (i)=liI, [ Q{t)eS<-t)dt = - . Ha основании формулы (13.13) получаем L 1 Окончательно получаем Дифференцируя последнее выражение по &, можно получить функцию веса: или в ином виде: ai-l W (т, &)= Для дифференциального уравнения (13.12) можно сразу найти функцию веса из общего решения (13.13), если положить в (13.12) входной сигнал равным единичному смещенному импульсу Q (t) = 8 (t - &). Проделав необходимые выкладки, получаем] li; (Z - &, &) = е-я(*Л ), (13.15) i? (i, &) = J Р (t) dt. Распространим этот результат на более общий случай записи дифференциального уравнения в виде о (О - J + 1 (*) = Ьо it) f it). (13.16) Приведем его к виду (13.12): + xf(t). (13.17) Положив f (t) = 6 (t - &), получим для функции веса решение в виде ;(*-&, &)=-e-K(t. в), (13.18) R{t, ) = J ao(t) Рассмотрим снова в качестве примера уравнение (13.14). Приведем его к виду (13.17): Обратившись к формуле (13.18), находим R(t, = jdt = ailjx При нулевых начальных условиях (для t = &) должно быть h (О, &) = 0. Отсюда определяется постоянная интегрирования
|