§ 13.2. Нахождение функции веса и построение переходных процессов

Функция веса системы с переменными параметрами является исчерпывающей характеристикой этой системы, и нахождение ее важно но следующим соображениям. Функция веса характеризует протекание временных процессов в системе регулирования, и но ее виду можно судить о качестве регулирования, аналогично тому, как это делалось для систем с постоянными параметрами (§ 8.4). По имеющейся функции веса можно определить время протекания переходного процесса, как характеристику быстродействия, и склонность системы к колебаниям.

Кроме того, по имеющейся функции веса можно строить процесс на выходе системы регулирования нри заданных входных воздействиях, не производя нри этом каждый раз полного решения исходного уравнения (13.1). В соответствии с формулами (13.9) и (13.11) для этой цели необходимо иметь сопряженные функции веса.

переходе к реверс-смещению получаем полное совпадение двух функций веса - нормальной и сопряженной: w (т) = w (6).

Пусть на систему (13.1) с функцией веса w (t - &) действует входной сигнал / {t). Элементарная реакция на выходе системы в произвольный момент времени f & будет

dx{t) = w{t - &, &)f d-Q: (13.8)

Полный сигнал на выходе линейной системы определяется как суперпозиция элементарных реакций интегрированием (13.8) в пределах от О до t:

x(i)= j y;(Z--&,-&)/()d. (13.9)

Так как нри & > Z функция веса равна нулю, то выражение (13.9) можно также записать в виде

ж (О = J w (f - #) / {&) d. (13.10)

Из двух последних выражений видно, что в интегральном уравнении связи между входной и выходной величинами используется сопряженная функция веса (13.6), т. е. разрез рельефа функции веса (рис. 13.2, б) вдоль аргумента &.

Если использовать реверс-смещение 6 = - &, то интегральная связь (13.9) может быть представлена в виде интеграла свертки

x{t)=\ w{e, t~e)f(t-Q)dQ. (13.11)

Как уже отмечалось, в случае постоянства параметров системы функция веса зависит только от времени {t - &). В этом случае формула (13.11) переходит в интеграл свертки (7.44)

ж (г) = J и; (0) / (i - е) de = J w (т) / (i - т) dT.

Ввиду сложности проблемы существующие методы позволяют пока решать задачу на:!?ождения функции веса в численном виде. Только для систем регулирования, описываемых дифференциальными уравнениями первого и иногда второго порядков, удается решать задачу в общем виде. Поэтому в некоторых случаях приходится сложную систему с переменными параметрами приближенно сводить к более простой системе, движение которой описьшается уравнением не вьппе второго порядка.

Следует заметить, что большинство систем регулирования с переменными параметрами относится к так называемы.м квазистационарным системам, или системам, параметры которых меняются сравнительно медленно. В подобных системах коэффициенты дифференциального уравнения (13.1) мало меняются в течение времени переходного процесса, определяемого временем затухания нормальной функции веса.

Дифференциальное уравнение первого порядка. В некоторых случаях для оценки вида переходных процессов системы с переменными параметрами ее уравнение приближенно можно свести к дифференциальному уравнению первого порядка

+ P(t)x = Q(t). (13.12)

Это уравнение имеет аналитическое решение X (t) = е-ад [ J (*) еЭД dt + С

(13.13)

S{t)= Р {t) dt,

а С - постоянная интегрирования.

Пусть, например, имеется уравнение

t- + aiX = f{t).

(13.14)

Определим для него семейство переходных характеристик h {t - =

= h (т, &). Для единичной ступенчатой функции при & = О уравнение (13.14) можно записать в следующем виде:

+ ах = 1{г-Щ.

Приведем его к виду (13.12): Далее получаем:

--- .

P{t)=, S{t)==\ P{t)dt=\dt=ailnt, eSH)f\ е-ад=Г% (i)=liI, [ Q{t)eS<-t)dt = - .

Ha основании формулы (13.13) получаем

L 1

Окончательно получаем

Дифференцируя последнее выражение по &, можно получить функцию веса:

или в ином виде:

ai-l

W (т, &)=

Для дифференциального уравнения (13.12) можно сразу найти функцию веса из общего решения (13.13), если положить в (13.12) входной сигнал равным единичному смещенному импульсу Q (t) = 8 (t - &). Проделав необходимые выкладки, получаем]

li; (Z - &, &) = е-я(*Л ), (13.15)

i? (i, &) = J Р (t) dt.

Распространим этот результат на более общий случай записи дифференциального уравнения в виде

о (О - J + 1 (*) = Ьо it) f it). (13.16)

Приведем его к виду (13.12):

+ xf(t). (13.17)

Положив f (t) = 6 (t - &), получим для функции веса решение в виде

;(*-&, &)=-e-K(t. в), (13.18)

R{t, ) = J

ao(t)

Рассмотрим снова в качестве примера уравнение (13.14). Приведем его к виду (13.17):

Обратившись к формуле (13.18), находим

R(t, = jdt = ailjx

При нулевых начальных условиях (для t = &) должно быть h (О, &) = 0. Отсюда определяется постоянная интегрирования