Второе слагаемое (8.9), как и ранее, дает статическую ошибку. Первое слагаемое (8.9) имеет смысл только при астатизме второго порядка, когда передаточная функция разомкнутой системы может быть представлена в виде

КР) р2 (i+Cn-3P+ .. . +CoP-}

Тогда выражение (8.9) приводится к виду

Хусч: =-g-T-j-Хч = Ху-]г Xq.. (8.10)

Первое слагаемое (8.10) представляет собой добавочную ошибку от постоянного ускорения. Как и в предьвдущем случае, качество системы может бьггь оценено величиной добротности по ускорению

Ке = . (8.11)

Этот типовой режим используется только для систем регулирования с астатизмом второго порядка, главным образом следящих систем.

4. Движение по гармоническому (синусоидальному) закону. Такой режим используется весьма часто, так как он позволяет наиболее полно оценить динамические свойства системы регулирования. Задающее воздействие принимается изменяющимся по закону

g it) = ITmax sin COfef. (8.12)

Тогда выражение (8.5) приводится к виду

Жуст = - + от = я;с-Ьа;ст. (8.6)

Таким образом, в этом типовом режиме установившаяся ошибка будет слагаться из статической ошибки и добавочной скоростной ошибки, равной отношению скорости задания к добротности системы по скорости:

.0= -i;. (8.7)

Так как система может двигаться с различными скоростями, то качество ее удобнее характеризовать не самой скоростной ошибкой, которая является переменной величиной, а значением добротности по скорости

. = . (8.8)

В статических системах первое слагаемое (8.6) стремится к бесконечности; при астатизме выше первого порядка это слагаемое стремится к нулю. Поэтому режим движения с постоянной скоростью используется для оценки точности только систем с астатизмом первого порядка, главным образом следящих систем, для которых такой режим является характерньш.

3. Движение с постоянным ускорением. В качестве третьего типового режима используется режим установившегося движения системы регулирования с постоянным ускорением 8 = const. В этом случае задающее воз-

действие меняется по закону g{t) - Возмущающие воздействия принимаются постоянными, как и во втором типовом режиме. Этот режим имеет смысл только в следящих системах и системах программного регулирования.

Аналогично изложенному выше, установившееся значение ошибки в этом режиме может быть найдено из выражения

В зависимости от конкретного вида системы регулирования возмущающие воздействия в рассматриваемом режиме могут оставаться постоянными или меняться.

Случай постоянства возмущающих воздействий приводит, как и в рассмотренных вьппе втором и третьем типовых режимах, к появлению некоторой постоянной ошибки Жрт-

Более вероятным является случай, когда возмущающие воздействия при движении системы в этом режиме меняются во времени. Это объясняется тем, что при движении по гармоническому закону непрерывно будет меняться направление движения системы, а следовательно, одновременно будет меняться направление действующих в системе сил сухого трения. Этот случай является довольно сложным, и он может рассматриваться только в приложении к конкретным системам регулирования. Рассмотрим ошибку, определяемую только первым слагаемым выражения (5.16):

= i

(8.13)

В линеаризованной системе при гармоническом задающем воздействии (8.12) ошибка в установившемся режиме будет также меняться по гармоническому закону с частотой cof:

= та-х sin (cOfeif + ijj).

(8.14)

Точность системы в этом режиме может быть оценена по амплитуде ошибки, которая может быть найдена из (8.13) на основании символического метода подстановкой р = /со:

Хтах= (8.15)

Так как предполагается, что амплитуда ошибки значительно меньше амплитуды входного воздействия: Хх < шах, то, следовательно, модуль знаменателя (8.15) значительно больше единицы. Это позволяет с большой точностью выражение (8.15) заменить приближенным

gmax

где А (cofe) - модуль частотной передаточной функции разомкнутой системы при

Рис. 8.2. Последняя формула позволяет легко

вычислять aмплитyдyj ошибки в установившемся режиме. Для этого необходимо располагать либо аналитическим выражением для передаточной функции разомкнутой системы, либо иметь экспериментально снятую амплитудную или амплитудно-фазовую частотную характеристику разомкнутой системы.

Формула (8.16) широко используется также при расчете системы методом логарифмических амплитудных частотных характеристик (л. а. х.). В этом случае модуль А (со) в децибелах, т. е. L (со) = 20 Ig Л (ю), равен ординате л. а. X. при частоте со = со; (рис. 8.2, а).

Простота выражения (8.16) позволяет легко решить обратную задачу, т. е. сформулировать требования к л. а. х., которые необходимо выполнить, чтобы амплитуда ошибки в установившемся режиме была не больше заданной. Для этого необходимо по заданному значению амплитуды задающего

Ф:. (р) dp

. J - I

j3=0

Фх (P)

Со = [Фх{р)]р=0, Ci-

Так как передаточная функция по ошибке представляет собой дробно-рациональную функцию, то коэффициенты ошибок можно более просто

воздействия gmax и ДОПУСТИМОЙ амплитуде ошибки Жщах вычислить требуемое значение модуля частотной передаточной функции разомкнутой системы в децибелах:

LK)=201g( ft) = 201g-fss. (8.17)

max

Это значение модуля необходимо отложить на логарифмической сетке при частоте управляющего воздействия со = со. Полученная точка (рис. 8.2, б) обычно называется контрольной точкой для л. а. х. Для того чтобы амплитуда ошибки в системе не превосходила допустимого значения Жщах! л. а. X. должна проходить не ниже контрольной точки Af. Если л. а. X. пройдет через зту точку, то амплитуда ошибки будет как раз равна допустимому значению. Если л. а. х. пройдет ниже точки Aj, то ошибка будет больше допустимого значения.

§ 8.3. Коэффициенты ошибок

Рассматриваемый метод может применяться как для задающего g (t), так и для возмущающего / (t) воздействий. Не снижая общности рассуждений, рассмотрим случай, когда имеется только задающее воздействие.

Если функция времени g (t) имеет произвольную форму, но достаточно плавную вдали от начальной точки процесса в том смысле, что через некоторое время существенное значение имеет только конечное число т производных

dt d 2 dim

to ошибку системы можно определить следующим образом. Из формулы (5.20) можно найти изображение ошибки

Х{р)=ФАр)0{р) = ;, (8.18)

где Фж (р) - передаточная функция замкнутой системы по ошибке, G {р) - изображение задающего воздействия.

Разложим передаточную фушщию по ошибке в выражении (8.18) в ряд по возрастающим степеням комплексной величины р:

Х{р) = [со + с,р + р+р+ ...]G{p), (8.19)

сходящийся при малых значениях р, т. е. при достаточно больших значениях времени t, что соответствует установившемуся процессу изменения регулируемой величины при заданной форме управляющего воздействия.

Переходя в выражении (8.19) к оригиналу, получаем формулу для установившейся ошибки

-c,git) + c,P- + +... (8.20)

Величины Сп, Cj, Cg, ... называются коэффициентами ошибок. Они могут определяться согласно общему правилу разложения функции в ряд Тейлора по формулам