Эта функция играет в дискретных системах такую же важную роль, как б-функция (функция Дирака) в непрерывных системах.

Для всех непрерывных и решетчатых функций, приведенных в табл. 15.1, предполагается, что они тождественно равны нулю при f <; 0. В некоторых изображениях табл. 15.1 использованы полиномы (z), которые могут быть представлены в виде определителя [136]

Rkkl

1 2! 1

1-Z 1

1 2!

... О ... О

...О

М (fc -1)! (fc-2)!

Некоторые частные значения этого полинома:

Ro{z)==i, i?i(z) = l,

J?2(Z) = Z+1,

i?3(z) = z + 4z+l,

J?4(z) = z3 + llz2+llz+l.

.. 1

(15.33)

(15.34)

Операцию нахождения z-преобразоЕания от решетчатой функции (15.30) или от непрерывной производящей функции (15.31) можно распространить на изображение Лапласа непрерывной производящей функции

л(р)= J/(f) e-dt.

Пусть решетчатая функция f[nT] получаетсяиз непрерывной функции / (t) квантованием в моменты времени t = пТ. Введем вспомогательную импульсную функцию, образованную умножением исходной непрерывной функции на последовательность б-функций

/*[пЛ= S f{t)8(t-nT).

Найдем преобразование Лапласа введенной функции

оо оо

{/*[nn}=2 j f{t)8(t~nT)e-4t.

n=0 О

Так как интеграл от б-функции равен единице, то имеем

L {/* [пТ]} = S / [пТ] е-рптf)

(15.35)

(15.36)

(15.37)

где Z = е.

Таким образом, преобразование Лапласа для импульсной функции оказывается равным z-преобразованию исходной непрерывной производящей функции.

440 .. импульсные системы [гл. 15

Обозначив последовательность б-функций вида 8 (t - пТ - еТ), где и = О, 1, 2, . через бт (f), импульсную функцию при s =0, можно представить следующим образом:

/* [(п + ) Я = / {t) Ьт {t). (15.38)

Применим к левой и правой части последнего выражения преобразование Лапласа. В соответствии с приведенным доказательством в левой части будет получено z-преобразование исходной непрерывной функции времени

F (еР, 8) = L {/ (t) 8т т. (15.39)

Используем далее теорему свертки в комплексной области

С+Зоо

F(е г, =7r [ J (Ц А {Р-Ц dX-h J л {Ц А{р-Ц dp]. (15.40)

C-JOO R

Здесь Fji{p)~L{f (t)}. Кроме того,

оо оо оо оо

а также

(р-)-1 ;-(р-я)т-

Интегрирование в (15.40) ведется по прямой р = с -j- /о, где с - число, большее абсциссы абсолютной сходимости, и по полуокружности радиуса R оо. Полуокружность может быть выбрана как в левой, так и в правой части комплексной плоскости. В последнем случае внутрь контура интегрирования попадают полюсы подынтегрального выражения, определяемые равенством e-Cp-)2 = 1 или - {р - %) Т = j2nr, г = О, ±1, ±2, . . .

Значение полюса = р -f- jr- .

Для вычисления интеграла удобно обозначить

П-=ГЧ {р~ЦТ = \пу, d%=~. Тогда искомый интеграл можно представить в виде

Для каждого из полюсов в соответствии с теоремой Коши можно записать

J = 4>{i)=Fji(phjr-)e . (15.42)

Окончательное выражение для искомого z-преобразования будет при Z = е-г:

(,.T ) = L 2 .л(р + ;>)> ) (15.43)

Г=-оо

Эта формула справедлива при любом значении с >- 0. Однако при s = О она становится неверной, так как начальный момент времени становится моментом квантования. Для этого случая можно показать [136], что

-преобразование должно вычисляться в соответствии с выражением

F{evr,0) 2 Fu(p + ir)+. (15.44)

Операцию нахождения z-преобразования по преобразованию Лапласа символически можно записать, аналогично формулам (15.30) й (15.31), в виде

F (Z, 8) = Z,{ Fn (р)}. (15.45)

Формулы (15.43) и (15.44) имеют больше теоретическое, чем практическое значение. В большинстве случаев нахождение z-преобразования для изображения Лапласа Fn {р) проюце осуюцествить переходом к оригиналу / {t) известными методами и использованием затем табл. 15.1.

Рассмотрим кратко основные правила и теоремы применительно к z-преобразованию. Эти же правила и теоремы будут справедливыми и для дискретного преобразования Лапласа. Рассмотрение проведем для несмеюценных решетчатых функций, но полученные результаты можно распространить и на случай смеюценных функций / [п, е], кроме случаев, оговоренных особо.

1. Свойство линейности. Это свойство заключается в том, что изображение линейной комбинации решетчатых функций равно той же линейной комбинации их изображений. Пусть решетчатая функция определяется выражением

/M=I]cv/vM. (15.46)

Тогда для ее изображения можно записать

Fiz)=j]cF,{z). (15.47)

v=l

2. Теорема запаздывания и упреждения. Рассмотрим решетчатую функцию f [п - т\, сдвинутую вправо (запаздывающую) на целое число тактов т. Тогда из формулы (15.29) следует, если обозначить п - т - г,

Z{f[n~m]}= S /[r]z-< +-> = z- [S/[r]z-4- S /[r]z-1 =

r=-m r=0 r=-m

= z-[/(z)+S/[-r]/l. (15.48)

Здесь F (z) - изображение функции / [п]. Если исходная решетчатая функция / [п] равна нулю при отрицательных значениях аргумента, то формула (15.48) упрощается:

Z{fln-m]} = z- F{z). (15.49)

Если сдвиг функции / [п] происходит влево (упреждение) и рассматривается функция / [и -)- 7Н.], где т - целое полржительное число, то аналогично случаю запаздывания можно показать, что

Z{f[n + т]} = z* [F (z) - S / Ш (15.50)

fe=0

Второе слагаемое в правой части (15.50) обращается в нуль, если f [п] = О

при и = О, 1, . . ., 7Н. - 1.