ние (18.175) (при иоо) мало отличается от синусоидального (18.173), будем для определения высших гармоник, порождаемых нелинейностью {т. е. на выходе нелинейного звена, где они не малые), подавать на вход нелинейного звена синусоиду (18.173).

Тогда каждая из высших гармоник на выходе нелинейного звена у = = F (х, рх) в комплексной форме запишется в виде

Ук = о./ = а (гь + JSfc) (/с = 2, 3, . . .),

(18.176)

где и - искомые амплитуда и фаза высшей гармоники у на выходе нелинейного звена, а - амплитуда входной синусоиды. При этом величины Ги и Sft определяются коэффициентами ряда Фурье, деленными на а, т. е.

ги = - F (а sin -ф, йсо cos -ф) sin hp йф.

Следовательно,

Su~ - \ F {а sin ф, асо cos я))) cos Щ dip.

auaYrl + n, Pfc = arctg-.

(18.177)

(18.178)

Затем эти немалые высшие гармоники с выхода нелинейного звена проходят через линейную честь (рис. 18.36) с передаточной функцией

Д(Р)

становясь малыми за счет наличия свойства фильтра.

Учитывая перемену знака воздействия в замкнутой системе, получаем малые высшие гармоники для переменной х в виде (18.174), где

Окончательно находим:

R иЩ

Q (1Щ

R ОМ

-R Oto)5

Vrl + sl,

-barctg-

или, в комплексной форме,

(18.179)

(18.180)

Итак, по формулам (18.179) легко определяются относительная амплитуда и фаза каждой из высших гармоник (18.174) периодического решения (автоколебаний) для переменной х (18.175). Они вычисляются по известным амплитуде а и частоте со первого приближения (18.173), определению которого были посвяпцены предьвдущие параграфы данной главы.

Теперь произведем уточнение амплитуды а и частоты со первой гармоники за счет учета уже найденных высших гармоник. Уточненные значения а и со обозначаются через и coj.

Имея в виду форму решения (18.175), где х - первая гармоника, раз--ложим нелинейную функцию F {х, рх) в ряд Тейлора:

F (х, рх) = F (xi, pxi) + F{xi, pxi) yXk + F (xj, pxi) pxk+...

ft=2

ft=2

Ограничимся написанными членами разложения ввиду малости высших гармоник 2 ft-

Применяя далее разложение в ряд Фурье, по аналогии с § 18.1 получим

F{х, рх) = (9+ +-Р) Х1-\-высшие гармоники, (18.181)

где шлеем аналогичные прежним формулам первого приближения (18.7) основные коэффициенты (причем ф = оз)

д = F {ui sin ф, aiCOj cos ф) sin ф йф,

д = \ F (ai sin ф, aiCOj cos ф) cos ф йф

зтй J

(18.182)

и новые добавки к ним, вычисляемые, в отличие от этих основных, через первое приближение (18.173):

2п п и

ij [i F {xi, pxi)j Xk+-F{xi, рж1)2 pa;ft] sin фйф,

0 2n

ft=2 n

h=2 n

1 [-(жьРО S h + -F{Xi, pXi) рЖй]с08ф#.

ft=2

Они И дают уточнение первой гармоники х за счет учета высших гармоншс искомого периодического решения. Формулы для Ад и Ад с учетом (18.174) можно преобразовать к следующей, удобной для вьгаислений, форме:

Ад (/fti6ftCOS(pft + 426fcSin9ft), I Ад = S (Jftsfift cos Фь + hik sin ф),

ft=2

(18.183)

4l =

i J ¥ft (ф) sin ф йф, = J ®t (il) sin Ф d,

¥ft (Ф) cos Ф Йф, /ft4 = J Oft (Ф) COS Ф йф,

(18.184)

причем

(Ф) == F (a sin Ф, aco cos ф) sin А;ф + F [a sin ф, ш cos ф) Aco cos Аф,

©ft (Ф) = F (a sin Ф, aco cos ф) cos Щ> + F [a sin ф, gco cos ф) Ы sin Агф.

Подставив выражение (18.181) в уравнение системы (18.172) с учетом свойства фильтра, получим уравнение для определения уточненной первой гармоники х в виде

Q{p) + R{p)(q+q + p)]i = 0.

Характеристическое уравнение представим в форме

Qi ip) + R ip) [q (аь щ) + p] =0, (18.185).

где введено обозначение

Qi{p)-Q{p) + R{p)(Aq+p) (18.186)

(замена со на со в малых добавках не играет существенной роли). Введение такого обозначения удобно по двум причинам. Во-первых, отделяются искомые % и со, входящие ъ qviq, от известных величин Aq и Aq, которые вычисляются здесь предварительно по формулам (18.183) через найденные вьппе значения б, и через а и со, известные из первого приближения (§§ 18.1- 18.4). Во-вторых, уравнение (18.185) для определения уточненной первой гармоники Xi = tti sin coj приведено к виду, формально совпадающему с уравнением (18.33), которое определяет первое приближение. Это позволяет использовать при определении уточненной первой гармоники совершенно те же способы, что и в § 18.2 для первого приближения. Кроме того, согласно (18.182) здесь можно использовать все прежние готовые выражения коэффициентов гармонической линеаризации q vl q для конкретно заданных нелинейностей с заменой только а, со на coi.

Итак, полностью найдено искомое уточненное решение для автоколебаний (18.175) в виде

x = ai sin cojf -\- У] fifttti sin (/ccojf -f ф).

ft=2

Следует помнить, что, используя любой из способов § 18.2 применительно к данной задаче, надо везде вместо Q (р) ставить новый многочлен (р), отличающийся от Q {р) некоторьши добавками к его коэффициентам и определяемый по формуле (18.186).

Важная особенность уточненного решения состоит еще и в том, что многочлен Qiip), в отличие от прежнего Q (р), зависит не только от параметров линейной части системы, но, согласно (18.186) и (18.183), также и от формы нелинейности F (ж, рх) за счет добавков Aq и Aq. Однако, в то время как основные коэффициенты q и q имеют готовые выражения для каждой нелинейности (см. § 18.1), здесь нельзя пршленять заранее вычисленные конкретные формулы для величин Ад и Aq, так как входящие в формулы (18.183) величины 6fc и фь, согласно (18.179), зависят от параметров и структуры линейной части системы. Однако можно заранее вьгаислить для различных конкретных форм нелинейностей вспомогательные величины и s.

О том, какой состав высших гармоник (18.175) в каждой конкретной задаче следует учесть, можно судить по разложению заданной нелинейной функции F {х, рх) в ряд Фурье. Так, например, в часто встречающемся на практике случае однозначной нечетносимметричной нелинейности F (ж) наиболее существенной из высших гармоник будет третья. Учитывая ее, представляем искомое периодическое решение (автоколебания), согласно (18.175), в виде

X = Х-, + Жо, ж, = а. sin (у)Л, ]

. . \ J \ ( (18.187).

Жз = бзЙ! sin (3(Bif 4- Фз)- J

В этом случае в уравнении для первой гармоники (18.185), как и прежде, будет равен нулю коэффициент q и характеристическое уравнение будет

Qiip) + R{p)q = 0, . (18.188)