где В (z) - производная 5 (z) по z, а Zv (v = 1, 2, . . ., Г) - корни знаменателя. Элементарному слагаемому z (z - z) соответствует оригинал -апт у 12д (см. табл. 15.1). В табл 15.1 единственный

корень дроби первой степени обозначен z = d.

Поэтому оригинал (15.86) можно записать следующим образом:

4z (15.87)

б) Пусть изображение F({z) не имеет нулевого корня числителя, но степень числителя А (z) меньше степени знаменателя. Тогда, как следует из (15.73) начальное значение решетчатой функции / [0] = 0.

Для нахождения оригинала в этом случае можно воспользоваться формулами (15.86) и (15.87), но применить их следует для сдвинутой на один такт влево решетчатой функции, изображение которой будет zF (z). Для того чтобы получить в результате искомую функцию, следует в правой части (15.87) сделать сдвиг на один такт вправо, для чего нужно заменить и на и - 1. В результате имеем

/М = 3 4-\ (15.88)

v=lM

причем последнее выражение будет справедливым только для и 1.

в) Пусть изображение F (z) не имеет нулевого корня числителя А (z), причем степень А (z) равна степени знаменателя В (z). Тогда следует понизить степень числителя, поделив его на знаменатель, и представить F (z) в виде суммы составляющей нулевого порядка и дробно-рационального <5статка Fq (z). В соответствии с формулой (15.29) первая составляющая равна начальному значению решетчатой функции / (0). Поэтому

н=4=/[0]+п()=/[0]-ь4.

Переход от второй составляющей изображения к оригиналу может быть сделан по формуле (15.88), которая справедлива для I.

г) Если изображение F (z) можно представить в виде некоторой дробно-рациональной функции Fq (z), умноженной на изображение единичной ступенчатой решетчатой функции 1 [п], которое равно z (z - 1) , т. е.

то можно показать, что формула разложения приобретает вид

f[n] = f-i---4. (15.89)

Последнее выражение представляет собой аналог известной формулы разложения Хевисайда, полученной им для непрерывных систем.

. д) Пусть изображение F (z) имеет нулевой полюс кратности г и простые остальные полюсы

A{z) A(z)

Fiz):

В (z) zBo (z)

причем степень числителя А (z) меньше степени полинома jBq (z)- Тогда на основании (15.83) и (15.88) можно найти оригинал в виде

О, если n<Zr-\-i,

ii fio(zv)

если ;>.r+l-

(15.90)

При равенстве степеней числителя и полинома (z) следует выделить делением А (z) на Bq (z) нулевую составляююцую и остаток, после чего представить изображение в виде

- fi (z) zrfio (z) zrV Bo(z)y

Здесь / [г] - значение оригинала в момент п = г. Далее можно воспользоваться формулой (15.90), заменив в ней А (z) на А (z).

е) Пусть изображение F (z) имеет полюс Zi кратности г, а все остальные шолюсы простые:

B{z) {z-ziYBoiz)

причем степень числителя меньше степени знаменателя. Тогда в соответствии с (15.82) и (15.88) оригинал будет

гП~1 п

(15.91)

Эта формула справедлива для 1. При п = О значение оригинала / [0] = 0.

Для случая двойного корня (г = 2) формула (15.91) приобретает вид

1-2

А (z) z -l

Так, например, если

,=1 fi(zv)

L fioW J

(15.92)

(z-l)2

/M=liHi-[rz ] = nr,

что совпадает с табл. 15.1.

В случае, когда степень числителя F (z) равна степени знаменателя, следует аналогично изложенному выше выделить член нулевого порядка / [0] делением числителя на знаменатель и рассматривать далее остаток OTJ деления.

14. Разложение в ряд Лорана. Из основного выражения для нахождения z-преобразования (15.29) следует:

F(z)== S / М z = / [0] +/[1];г-1+...+/[Л] z--

Разложив любым способом изображение F (z) в ряд Лорана (ряд по

убывающим степеням z):

F (z) = Со + ciz-i + . . . + cr,z- + . . .,

и сравнивая два ряда между собой, можно установить, что Cq = f [0], = = /[1], С2=/[2], . . ., Cfe =/Ш ИТ. д.

Разложение в ряд можно делать любым способом, так как такое разложение единственно. Наиболее удобным приемом для дробно-рациональных функций является деление числителя на знаменатель.

Применяя разложение в ряд Лорана, можно вычислить значения оригинала / [п] или / [п, е] в дискретных точках без нахождения полюсов изображения F (z).

15. РепЕение разностных уравнений. Пусть имеется разностное, уравнение в форме (15.15)

аоу [п -i- т] + ау [п + т - I] -i- . . . -i- ау [п] = f {п\

с начальными условиями у{\\ = у. (v = О, 1, . . ., т - 1). Найдем z-преобразование от его левой и правой частей. В соответствии с формулой (15.50) для случая упреждения на т тактов

т- 1

Z{y[n + m]} = z[Y{z)- y[k]z-].

Аналогичные зависимости могут бьггь записаны для упреждения на {т - 1), {т - 2), . 8 ., 1 тактов. Поэтому при переходе в рассматриваемом разностном уравнении к изображениям можно получить

(floz* +fliz -i+ . . . +flj Y iz)=F (z)+(floZ +fliz -i-- . . . -i-am-iz) Уо+ --(aoz -i + fliz-z . . . +a ,z) Уг+ . . . +aozy i=F iz)+Yo (z). (15.93)

В правой части (15.93), кроме изображения F (z) решетчатой функции / [п],. находятся члены, определяемые начальпьши условиями. Сумма их обозначена Yoiz).

Из (15.93) можно найти изображение Y (z) искомой решетчатой функции

где А (z) = floz + fliz -! + ...+ .

Далее можно использовать изложенные выше приемы перехода к искомому оригиналу у [п].

Для решения рассматриваемого разностного уравнения необходимо, как следует из изложенного, знать начальные условия у [v] = у (v = = 0, 1, . . ., т - 1). Последние же зависят от вида действующей в правой части разностного уравнения решетчатой функции.

Более удобны для решения разностные уравнения вида (15.19)

аоУ \.п\ + ауЫ - \\ + . . . -\- ПтУ [п - т\ = f [гй

с начапьньши условиями у [-v] = (v = 1, 2, . . ., т).

Изображение решетчатой функции у [п - т], запаздывающей на т тактов, в соответствии с (15.48) будет

Z{y[n-m]} = z- [У (z) + S у [ - г] z] .

Подобные зависимости могут быть записаны для запаздывания на (т.- 1), {т - 2), . . ., 1 тактов.

При переходе в рассматриваемом разностном уравнении к изображениям могут быть получены выражения, аналогичные (15.93) и (15.94). Пере-