3 м+Г м+1

У 1 м 1 Ум(м-1)

При построении желаемой л. а. х. в высокочастотной области вначале можно ориентироваться на наиболее простой ее вид и сформулировать ее при помощи одной асимптоты с наклоном 40 дб1дек, положение которой определяется постоянной времени

Т М i УМ{М-1) Мер М+1 - ©о Л? + 1

Эта л. а. X. показана в высокочастотной части на рис. 12.24 пунктирной линией. Она соответствует типу 2-1-2. При дальнейшем расчете зид высокочастотной части л. а. х. может уточняться. Однако два сформулированных выше условия не должны нарушаться. В окончательном виде высокочастотная часть л. а. х. может иметь произвольный вид, например показанный сплошной линией па рис. 12.24.

В следящих системах с астатизмом первого порядка необходимо вначале проверить возможность сведения желаемой л. а. х. к типу 1-2 или ее модификациям 1-2-3... Для этого необходимо исследовать возможность доведения суммы всех постоянных времени до значения, определяемого формулой (12.105):

При отрицательном ответе необходимо сформировать переход оси нуля децибел асимптотой с единичным наклоном так, как показано па рис. 12.25. Весь расчет ведется аналогично изложенному выше для следящих систем с астатизмом второго порядка.

Исходные данные для расчета - базовая частота со о и постоянная времени Г, - известны по построению низкочастотной части л. а. х. (см. рис. 12.25).

Для статических систем расчет ведется аналогично расчету систем с астатизмом первого порядка. Вначале необходимо проверить возможность использования л. а. х. типа О-1-2 (рис. 12.20) или ее модификации О-1- 2-3... по формуле (12.113). При отрицательном ответе необходимо сформировать переход оси нуля децибел аналогично рис. 12.24 и 12.25.

Расчет корректирующих (демпфирующих) средств. По наиболее простой схеме расчета следящих систем корректирующие средства определяются сравнением желаемой передаточной функции с передаточной функцией системы без корректирующих средств или сравнением л. а. х., соответствующих этим передаточным функциям.

Часто эта схема расчета оказывается слишком упрощенной, что затрудняет ее использование. Это объясняется главным образом трудностью непосредственного перехода в сложных случаях от имеющейся передаточной функции к желаемой, а также тем обстоятельством, что формирование высокочастотной части л. а. х. может быть выполнено многозначно. Если вид желаемой л. а. X. в низкочастотной части является вполне определенным, то для ее высокочастотной части могут быть сформулированы лишь общие требования в отношении допустимой суммы постоянных времени и отсутствия пиков, заходящих в запретную зону (см. рис. 12.24).

2. Сумма постоянных времени и коэффициентов при операторе в первой степени передаточных функций колебательных звеньев не должна превьппать значения (12.95):

где X (t) - отклонение регулируемой величины от требуемого значения. Величина / называется функционалом, так как она зависит от выбора функции X (t) или, вернее, от неизвестного пока вида этой функции, который определится после расчета системы по минимуму функционала /. Критерием максимальной точности может являться также минимум статической ошибки при максимальном внешнем воздействии или минимум среднеквадратичной ошибки при случайном воздействии. В других случаях критерием будет минимум расхода энергии на выполнение управляемого процесса, максимум математического выражения какого-либо из показателей надежности и т. п. При этом всегда функционал конструируется таким образом, чтобы оптимальности системы соответствовал именно минимум его (а не максимум)

Поэтому более гибкой оказывается схема расчета, при которой построение желаемой л. а. х. и расчет корректируюп],их средств, обеспечивающих получение желаемой л. а. х., делаются в два этапа.

На первом этапе расчета на основании требований к точности строится желаемая л. а. х. и рассчитываются корректирующие средства, формирующие ее в низкочастотной части. При этом будет получена некоторая промежуточная система, имеющая требуемую точность, но не имеющая, возможно, требуемого запаса устойчивости.

В некоторых случаях возможно сформирование одновременно с низкочастотной частью л. а. х. ее средне-, а в простейших случаях и высокочастотной частей.

На втором этапе расчета уточняется вид и рассчитываются параметры корректирующих средств, формирующих средне- и высокочастотную части л. а. X. В результате должна быть получена система, обеспечивающая не только требуемую точность в типовых режимах, но и имеющая необходимый запас устойчивости.

§ 12.7. Об Оптимальном синтезе

Под оптимальной системой автоматического регулирования или управления понимается система, которой тем или иным способом приданы наилучшие качества в каком-нибудь определенном смысле. Например, система может быть спроектирована так, чтобы она имела максимальную точность выполнения возложенной на нее задачи регулирования заданного объекта. Другим примером оптимизации является существование наиболее быстрого перехода системы из одного заданного состояния в другое или вообще из любого начального состояния в требуемое заданное при заданной ограниченной управляющей силе или мощности. Третьим примером оптимизации системы является обеспечение минимума затраты энергии на выполнение задачи управления при заданных внешних условиях. Четвертым примером может быть получение максимальной надежности работы аппаратуры системы при заданном ее весе. Пятым - достижение минимальной стоимости системы при заданном качестве выполнения ею определенной задачи управления ит. д.

Важно отметить четыре обпщх обстоятельства для любой оптимизации систем управления и регулирования.

При оптимизации системы в каждом отдельном случае должен быть правильно выбран критерий оптимальности, выраженный в той или иной математической форме. Например, при достижении максимальной точности системы критерием оптимальности может служить минимум ошибки регулирования, выраженный в виде интеграла

оо П 11 п

I=yclyUt)dU или 1 clyl{t)dt, (12.120)

или вообще

о i=l to i=l

l2 l2

I=-Ciyi)dl= 2 imVjdl, : (12.121)

ll ll i, }=1

где С - некоторая квадратичная форма от величин yi, cj - весовые коэффициенты, I может быть не только временем, но и любой другой физической или даже условной комбинированной независимой переменной, а Уг может быть как любой физической величиной, так и любой количественной оценкой того или иного свойства создаваемой системы. Однако математическое выражение критериев оптимальности может иметь не только форму (12.121), но и любую другую форму:

1=] fiyu ...,yn)dt, 1= f(yi, ...,yn)dl. (12.122)

to lo

функционал, минимум которого нужно получить, в общем случае может представлять любую желаемую комбинацию оценок различных качеств задаваемой системы. Заметим, что оптимальность системы по быстродействию является простейшим частным случаем для синтеза оптимальных систем, так как в этом случае в функционале (12.122) / = 1, причем / = = ti - tp (время перехода системы из начального состояния в новое, заданное при t == tj).

Чаще всего в качестве подынтегральных функций в (12.122) используются положительно определенные квадратичные формы от фазовых координат Xi {i = I, . . ., п) ш управляющих величин (д = 1, . . ., /с), например, в виде

ti п h

=J[ 3 fiJiJ+ 3 (gsUgUsjdt. (12.123)

to i, 3=1 g, s=i

Введя понятия критерия оптимальности, т. е., по сути дела, критерия качества системы, можно попытаться сформулировать задачу оптимального управления.

Пусть X = \\ Xi Wnxi - матрица-столбец фазовых координат, а и = = II llfexi - матрица-столбец управляющих воздействий, которые принадлежат некоторому множеству и (t) U и считаются допустимыми. Из множества допустимых управлений требуется выбрать такое, которое переводит управляемый объект из начального положения х (to) = ж в конечное X (tj) = х ж минимизирует принятый функционал качества. Это управление и соответствующая ему траектория называются оптимальными. Однако эта формулировка является лишь возможной, распространенной, но не единственной (см., например, § 11.9).

В условии задачи оптимизации любого одного из качеств системы фигурируют некоторые ограничения других ее свойств в виде заданной управляю-

как в случае минимума, так и в случае максимума требуемого показателя качества системы. Это всегда можно сделать. Чаще всего критерий оптимальности задается в виде интегрального квадратичного функционала от нескольких функций.