Главная ->  Логарифмическое определение устойчивости 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 [ 19 ] 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254

xi{r)h{t~r)dr, (4.8)

14.3} ЧАСТОТНАЯ ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ j61

ПО переходной функции:

:,(t) = xi{0)h{t) + turn по функции веса:

>,(*)= ffj(T) ;(i-T)dT, М

где т - вспомогательное время интегрирования, изменяющееся в пределах от нуля до рассматриваемого текущего момента времени t.

Более подробно методика нахождения переходного процесса при произвольном входном воздействии будет рассмотрена в главе 7.

§ 4.3. Частотная передаточная функция и частотные характеристики

Важнейшей характеристикой динамического звена является его частотная передаточная функция. Для получения ее рассмотрим динамическое звено (рис. 4.1) в случае, когда возмущение / (t) = О, а на входе имеется гармоническое воздействие = cos at, где - амплитуда, а ю - угловая частота этого воздействия.

На выходе линейного звена в установившемся режиме будет также гармоническая функция той же частоты, но в общем случае сдвинутая по фазе относительно входной величины на угол я];. Таким образом, для выходной величины можно записать?

= Хам cos (cof + Щ

Воспользуемся формулой Эйлера и представим входную и выходную величины в виде суммы экспоненциальных функций!

(4.10)

В линейной системе на основании принципа суперпозиции можно рассмотреть отдельно прохождение составляющих х[ и х[. Кроме того, можно легко показать, что достаточно рассмотреть прохождение только составляющей х[, которая в выходной величине дает составляющую ж. Соотношение между составляющими х и х получается таким же, как между х\ и х. Поэтому в дальнейшем рассмотрении воспользуемся символической записью ) cos cof = eJ*. Тогда

(4.11)

Символичность этой сокращенной записи] заключается в отбрасывании составляющих с множителем е~.

Для нахождения соотношения между входной и выходной гармоническими величинами звена воспользуемся его дифференциальным уравнением

в виде

n+T. + x, = k,x, + k,.

*) Иногда употребляют символическую запись sincoi=e *.



Из выражений (4.11) определим производные: .

Подставив значения входной и выходной величин и их производных в исходное дифференциальное уравнение, получим:

Т1 (jaf Х2ме( *+*) + Г1/сйХ2ме( *+*> + Х2ме( *+*> = hXie<t + 2/(0X16 *,

откуда после сокращения на общий множитель е? * найдем:

Это выражение* называется частотной передаточной функцией звена. Таким образом, частотная передаточная функция W {jai) представляет собой комплексное число, модуль которого равен отношению амплитуды выходной величины к амплитуде входной, а аргумент - сдвигу фаз выходной величины по отношению к входной:

oiJ.)=\WiJ.)\ = , I

arg W (/со) = !). J

В более общей формулировке для входного сигнала любого в ида частотную передаточную функцию можно представить как отношение из ображений Фурье (частотных изображений) выходной и входной величин:

что непосредственно вытекает из формулы (4.1) при переходе от изображения Лапласа к изображению Фурье; следовательно, частотная передаточная фушция легко получается из обычной передаточной функции подстановкой р = /со.

Частотная передаточная фзшкция звена есть изображение Фурье его функции веса, т. е. имеет место интегральное преобразование

W (/(0) = j W (f) e-i t dt. (4.15)

Частотная передаточная функция может быть представлена в следующем виде:

. W (усо) = А (со) ei* = f/ (со) + jV (со), (4.16)

где А (со) - модуль частотной передаточной функции, if (со) - аргумент или фаза, и (со) и V (со) - вещественная и мнимая составляющие частотной передаточной функции.

Модуль частотной передаточной функции находится как отношение модулей числителя и знаменателя. Для рассмотренного выше примера (4.12)

Аргумент или фаза частотной передаточной функции находится как разность аргументов числителя и знаменателя. Для (4.12) имеем:

,i,(co) = arctg--arctg.




X (/со) = J ж (г) е- *

функция времени х (t) преобразуется в функцию частоты X (/to). Это означает, что функция времени представляется в виде бесконечной суммы бесконечно малых по величине векторов, вращающихся на комплексной плоскости с различными угловыми скоростями (частотами) ю. Эта сумма определяется формулой обратного преобразования Фурье

с+оо

где с - абсцисса абсолютной сходимости.

Так как функция времени является вещественной, то каждому элементарному вектору X (/со) е5 *й(й, вращающемуся против часовой стрелки (со > 0), должен соответствовать элементарный сопряженный вектор X (-/со) е~5 *й(й, вращающийся по часовой стрелке (ю -< 0). В этом случае сумма таких векторов в любой момент времени будет всегда вещественной. Поэтому интегрирование в формуле обратного преобразования Фурье должно вестись по всем частотам от -оо до -j-oo.

Для нахождения вещественной и мнимой частей частотной передаточной функции необходимо освободиться от мнимости в знаменателе путем умножения числителя и знаменателя на комплексную величину, сопряженную знаменателю, и затем произвести разделение на вещественную и мнимую части. Для (4.12)

Для наглядного представления частотных свойств звена используются так называемые частотные характеристики.

Амплитудно-фазовая частотная характеристика (а. ф. х.) строится на комплексной плоскости. Она представляет собой геометрическое место концов векторов (годограф), соответствующих частотной передаточной функции W (/ю) = U (со) -Ь jV (ю) при изменении частоты от нуля до бесконечности (рис. 4.7). По оси абсцисс откладывается вещественная часть и (со) = В.е W (/ю) и по оси ординат - мнимая часть V (ю) = 1т W (/со). Для каждой частоты на комплексной плоскости наносится точка. Полученные точки соединяются затем плавной кривой. Около нанесенных точек можно написать соответствующие им частоты (Oi, (Oj, (Og и т. д.

А. ф. X. может быть построена как для положительных, так и для отрицательных частот. При замене в частотной передаточной функции +ю на -ю Рис. 4.7. получится сопряженная комплексная величина. Поэтому а. ф. X. для отрицательных частот может быть построена как зеркальное изображение относительно вещественной оси а. ф. х для положительных частот. На рис. 4.7 а. ф. х. для отрицательных частот показана пунктирной линией.

Отметим, в чем заключается смысл положительных и отрицательных частот. При помощи преобразования Фурье



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 [ 19 ] 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254