Однако здесь буква р = 8 означает уже не символ дифференцирования, а некоторое комплексное число, которое является решением (корнем) характеристического уравнения.

Так как в решении характеристического уравнения содержится п корней, то переходная составляющая может быть записана в виде

Уп it) = Ciev + CePt + . . . + Ce-Pnt,

(6.10)

где pi, . . ., pn - корни характеристического уравнения, С, . . ., С - постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий.

Корни характеристического уравнения определяются только видом левой части уравнения (6.5). Постоянные интегрирования определяются также и видом правой его части. Поэтому быстрота затухания пформа переходного процесса определяются как левой, так и правой частями исходного

Рис. 6.2.

дифференциального уравнения.Однакопоскольку в понятие устойчивости системы входит только факт наличия или отсутствия затухания переходного процесса (независимо от быстроты затухания и формы переходного процесса), то устойчивость линейной системы не зависит от вида правой части дифференциального уравнения (6.5) и опреде.яяется только характе2энстическим уравнением (6.9).

Чтобы определить, устойчива система или нет, нет необходимости решать характеристическое уравнение и определять его корни. Выясним, какие свойства корней необходимы и достаточны для того, чтобы система была устойчивой.

Корни могут быть вещественными, комплексными и чисто мнимыми. Рассмотрим эти случаи.

1. Вещественный корень. Пусть один из корней, например Pi, является вещественным. Если он отрицательный (pi = -ccj), то слагаемое, определяемое этим корнем в (6.10), будет представлять собой экспоненту Се !*. Очевидно, что при t-> оо этот член будет затухать.

При pi == -\- a-i получится не затухающий, а расходящийся процесс (рис. 6.2, а).

2. Комплексные корни. Комплексные корни бывают попарно сопряженными. При отрицательной вещественной части два корня, например pi и Ра, будут иметь вид Pi, = - а dz /р. В этом случае слагаемые.

определяемые этими корнями в уравнении (6.8), могут быть представлены в виде

Ce-(cc+ip)t СаС--да = 4е- * sin (t + Щ,

где А ж - новые постоянные интегрирования.

Нетрудно видеть, что в этом случае получаются затухающие колебания, причем мнимая часть корня Р представляет собой круговую частоту затухающих колебании, а а - показатель затухания, определяющий затухание огибающей к кривой переходного процесса (рис. 6.2, б).

При положительной вещественной части Pi, 2 = -f- а + /Р колебания будут не затухающими, а расходящимися (рис. 6.2, в).

3. Чисто мнимые корни. В этом

случае Pi = -\~ /Р и jOg = -ур. Слагаемое, опре- -9- н

деляемое этими корнями в (6.10), будет представ- -

лять собой незатухающие колебания, т. е. коле-

бания с постоянной амплитудой:

СеР* + Се-Р* = А sin (pf + i];).

Такой процесс изображен на рис. 6.2, г. Рис. 6.3.

Следовательно, для затухания переходного процесса необходимо, чтобы вещественные части корней были отрицательными. Это относится как к вещественным, так и к комплексным корням. Если хотя бы один корень характеристического уравнения будет иметь положительную вещественную часть, то переходный процесс в целом будет расходиться, т. е. система окажется неустойчивой.

Корни характеристического уравнения можно представить в виде точек на комплексной плоскости величины р (рис. 6.3).

Для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы все корни лежали слева от мнимой оси плоскости корней. Если хотя бы один корень окажется справа от мнимой оси, то система будет неустойчивой. Таким образом, мнимая ось представляет собой граничную линию в плоскости корней, за которую не должны переходить корни характеристического уравнения. Вся левая полуплоскость представляет собой при этом область устойчивости.

Превращение устойчивой системы в неустойчивую произойдет в том случае, если хотя бы один вещественный или пара комплексных корней перейдет из левой полуплоскости в правую. Границей перехода будет так называемая граница устойчивости системы. Система будет находиться на границе устойчивости при наличии:

1) нулевого корня;

2) пары чисто мнимых корней;

3) бесконечного корня.

Во всех трех случаях П2эедполагается, что все остальные корни имеют отрицательные вещественные части.

В первом случае вещественный корень попадает на границу устойчивости (ось мнимых) в начале координат, т. е. выполняется условие ph = 0. Это означает, что в характеристическом уравнении (6.9) будет отсутствовать свободный член = 0. Дифференциальное уравнение (6.5) в этом случае может быть записано в виде

{аор- + а,р-- + . . . + -i) РУ it) {ЪоР + + Ъ) g {t)

ж система будет устойчивой не относительно регулируемой величины у, а относительно ее скорости изменения ру. Величина же отклонения

регулируемой величины j может принимать произвольные значения. Такую систему называют нейтрально устойчивой, имея] в виду ее безразличие к значению самой регулируемой величины.

На границе устойчивости второго типа, которая называется колебательной границей устойчивости, два корня попадают на ось мнимых. Система в этом случае будет иметь незатухающие гармонические колебания с постоянной амплитудой (рис. 6.2, г).

Наконец, вещественный корень может попасть из левой полуплоскости в правую,проходя через бесконечность. В этом случае соответствующее слагаемое Cfeg !* в выражении (6.10) обращается в нуль, что соответствует понижению порядка дифференциального уравнения на единицу. Это будет при о = 0. Граница устойчивости третьего типа встречается сравнительно редко, и в дальнейшем будут рассматриваться практически то.яько первый и второй типы границы устойчивости.

Как было сказано выше, ни одна реальная система автоматического регулирования не является строго линейной. Линейные характеристики звеньев и линейные дифференциальные уравнения получаются путем линеаризации реальных характеристик и уравнений. При разложении в ряд Тейлора удерживались линейные члены и отбрасывались члены высших порядков, которые для малых отклонений считались пренебрежимо малыми.

Обоснование законности такой линеаризации содержится в теоремах Ляпунова.

1. Если характеристическое уравнение линеаризованной системы имеет все корни с отрицательными вещественными частями, то реальная система будет также устойчивой, т. е. малые нелинейные члены не могут в этом случае нарушить устойчивость системы.

2. Если характеристическое уравнение линеаризованной системы имеет хотя бы один корень с положительной вещественной частью, то реальная система будет также неустойчивой, т. е. малые нелинейные члены не могут сделать ее устойчивой.

3. При наличии нулевых и чисто мнимых корней поведение реальной системы не всегда даже качественно определяется ее линеаризованными уравнениями. При этом даже малые нелинейные члены могут коренным образом изменить вид переходного процесса, сделав систему устойчивой или неустойчивой.

Опираясь в своих линейных расчетах на эти теоремы Ляпунова, необходимо всегда иметь в виду, что они, во-первых, относятся к исследованию устойчивости в малом, т. е. в малой окрестности данного состояния равновесия, когда кривая СВ мало отличается от прямой CD (см. рис. 3.2) и, соответственно, отбрасываемые в формуле члены малы. Во-вторых, все это относится только к описанному выше способу линеаризации уравнений - разложению нелинейных функций в степенные ряды, что геометрически соответствует замене кривой отрезком касательной, а не к какому-либо другому способу линеаризации.

К сильно вьфаженным нелинейностям на больших участках, в том числе ПК нелинейностям релейного типа, эти теоремы, вообще говоря, неприменимы. Для исследования устойчивости нелинейных систем общего вида имеются другие теоремы Ляпунова, так называемый прямой метод Ляпунова или, по старой терминологии, вторая метода Ляпунова, которые будут изложены ниже, в главе 17.

Далеко не всегда бывает удобно вычислять корни характеристического уравнения. Поэтому желательно иметь такие критерии, с помощью которых можно было бы судить об устойчивости системы непосредственно по коэффициентам характеристического уравнения, без вычисления корней. Эти критерии называются критериями устойчивости.