Z{(nTrfln]}={-ir.

(15.55)

Для смещенной решетчатой функции аналогичная зависимость имеет вид

Z4{n + TTI [п, е]} = 2 (-1)<- (8Г) -. iJl 1. (15.56)

V=0 е Z

5. Изображение разностей. Для первой прямой разности на основании (15.50)

Z {Af (п)} = Z{f [n + l]-f [ ]} = z[F{z)~f [0]] - (z) =

= (z - 1) (z) - zf [0]. (15.57)

Если к - целое число, то аналогичным образом

fe-i

Z{A*/M}==(z-l)/(z)-zS (z-l)-*-A7[0], (15.58)

причем ДО/ [0] = / [0].

Если решетчатая функция / [п] равна нулю в первых Л; точках оси времени, т. е. / [0] = / [1] = . . . = / [й - 1] = О, то формула (15.58) упрощается:

Z {Д / [пЦ = {z~ 1) .F (z). (15.59)

Для первой обратной разности можно аналогичным образом найти

Z{V/[п]} = Z{fln]-fln-l]} = ~ F(Z)-f Z-/[-11. (15.60)

При запаздывании на не целое число периодов т + приходится вводить смещенную решетчатую функцию. Пусть рассматривается функция / [и + е - 7Н. -где т - целая, а g - дробная часть запаздывания. Если смещение е удовлетворяет условию 0е-<?и/[и + е - т ~ =0 при и + е < /?г. + L то можно показать, что

{/ [и + 8 - m - 51} = z-(i+ ) .Fiz, 1 + е - (15.51)

Если I 8 < 1, то

Ze{fln + e-m-l]} = z-.F (z, 8 - g). (15.52)

При использовании табл. 15.1 для нахождения изображений следует вместо е подставить 1 + 8 - g или 8 - g в соответствии с формулами (15.51) и (15.52).

3. Теорема об умножении оригинала на экспоненту (теорема смещения в области изображений). Умножим решетчатую функцию на экспоненту е. Тогда из формулы (15.29) следует:

оо со

г{е 7[к]} = 2 /[]2- =2 /Me<-) =i(-J) ; d = e. (15.53)

n=0 n=0 I

Для смещенной решетчатой функции аналогичная формула имеет вид

Ze{eTf[n + s]} = d.F(, б). (15.54)

4. Теорема об умножении оригинала на степенную функцию. Пусть решетчатой функции / [п] соответствует изображение F (z). Тогда можно показать, что

Если для отрицательных аргументов решетчатая функция тождественно равна нулю, то формула (15.60) упрош;ается:

Z{Wfln]}.Fiz). (15.61)

Для к-й обратной разности при f [п] = О для п <.0

Z{vf[n]}=()\Fiz). (15.62)

Полученные формулы изображений прямых и обратных разностей формально напоминают формулы для нахождения изображений производных непрерывных функций. Формула (15.62) аналогична случаю изображения производной к-то порядка непрерывной функции по начальным условиям слева при нулевых их значениях. Заметим, что при Т О (непрерывный случай) множитель в правой части стремится к пределу:

lua(-Y=lua(ff = pT. (15.63)

К такому же пределу стремится множитель (z - 1) в (15.59). Это также иллюстрирует сходство формул изображений производных и разностей.

6. Изображение сумм. Рассмотрим вначале неполную сумму (15.12):

оМ = S f[m].

7п=0

Составим первую прямую разность этой суммы

Да [и] = а [и 4- 1] - о [п] = f [п] и возьмем z-преобразование от правой и левой частей

Z {Ао [п]} = Z{f Ы}. На основании (15.59) имеем, далее,

(Z - 1) Z (а {пЦ = F (z). Отсюда можно найти изображение неполной суммы

2{аМ} = . (15.64)

Распространяя эту зависимость на случай /с-кратного суммирования можно записать

-2Kn}=-j£. (16.65)

Для полной суммы (15.13) аналогичным образом можно найти первую обратную разность

Voo {п\ = Оо [п] - Оо [/г - и = / [п\ и ее изображение из (15.61)

2 {VcTo n} = 2 {Оо м} =(z).

Отсюда изображение полной суммы

Z{oAn])=F{z). (15.66)

Для случая А-кратного суммирования

KM}=(j).F(z). (15.67)

Из приведенного рассмотрения вытекает справедливость равенства

Да [п] = Voo [п] = / [п]. (15.68)

Таким образом, взятие прямой разности и взятие неполной суммы (или обратной разности и полной суммы) решетчатой функции являются обратными операциями. Роль оператора, аналогичного оператору р = с + jo) в непрерывных системах, в первом случае играет оператор (z- 1), а во втором случае - оператор . В случае перехода к пределу при Г О обе

пары операций над решетчатыми функциями сливаются и превращаются в операции дифференцирования и интегрирования непрерывных функций.

7. Изображения решетчатых функций с измененным периодом следования. Пусть рассматривается решетчатая функция с периодом следования дискрет КТ, где % =ф1. Тогда на основании (15.29) можно записать

(15.69)

Из (15.69) следует, что при изменении периода в Я раз необходимо в изо , бражении решетчатой функции / [п] заменить z на z и У на XT. Так, напри мер, если рассматривается решетча-

тая функция 6-° *, то при введении периода XT в соответствии с табл. 15.1 изображение будет

F(z\ XT) = Z{e-} = - -

где Zj = z и di = d. На рис. 15.8 построены для этого случая решетчатые функции с исходным периодом следования Т (рис. 15.8, а), растянутым периодом при Я>1 (рис. 15.8, б) и сжатым периодом при А, <; 1 (рис. 15.8, в).

8. Сумма ординат решетчатой функции. Если абсцисса абсолютной сходимости решетчатой функции отрицательна (с < 0), то, положив в (15.29) р = О, имеем

F{l) = limF(z)= S f[n\. (15.70)

9. Конечное значение решетчатой функции. Составим первую прямую разность решетчатой функции / [п] и на основании (15.47) найдем ее изображение

Z {Д/ [пЦ = (Z 1) F (z) - zf [01.

Далее на основании (15.70) найдем сумму ординат А/ [пЬ

2 5 Рис. 15.8.

S Д/ [тг] = lim {z-1) F{z)-f [0].