Главная ->  Логарифмическое определение устойчивости 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 [ 146 ] 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254

Z{(nTrfln]}={-ir.

(15.55)

Для смещенной решетчатой функции аналогичная зависимость имеет вид

Z4{n + TTI [п, е]} = 2 (-1)<- (8Г) -. iJl 1. (15.56)

V=0 е Z

5. Изображение разностей. Для первой прямой разности на основании (15.50)

Z {Af (п)} = Z{f [n + l]-f [ ]} = z[F{z)~f [0]] - (z) =

= (z - 1) (z) - zf [0]. (15.57)

Если к - целое число, то аналогичным образом

fe-i

Z{A*/M}==(z-l)/(z)-zS (z-l)-*-A7[0], (15.58)

причем ДО/ [0] = / [0].

Если решетчатая функция / [п] равна нулю в первых Л; точках оси времени, т. е. / [0] = / [1] = . . . = / [й - 1] = О, то формула (15.58) упрощается:

Z {Д / [пЦ = {z~ 1) .F (z). (15.59)

Для первой обратной разности можно аналогичным образом найти

Z{V/[п]} = Z{fln]-fln-l]} = ~ F(Z)-f Z-/[-11. (15.60)

При запаздывании на не целое число периодов т + приходится вводить смещенную решетчатую функцию. Пусть рассматривается функция / [и + е - 7Н. -где т - целая, а g - дробная часть запаздывания. Если смещение е удовлетворяет условию 0е-<?и/[и + е - т ~ =0 при и + е < /?г. + L то можно показать, что

{/ [и + 8 - m - 51} = z-(i+ ) .Fiz, 1 + е - (15.51)

Если I 8 < 1, то

Ze{fln + e-m-l]} = z-.F (z, 8 - g). (15.52)

При использовании табл. 15.1 для нахождения изображений следует вместо е подставить 1 + 8 - g или 8 - g в соответствии с формулами (15.51) и (15.52).

3. Теорема об умножении оригинала на экспоненту (теорема смещения в области изображений). Умножим решетчатую функцию на экспоненту е. Тогда из формулы (15.29) следует:

оо со

г{е 7[к]} = 2 /[]2- =2 /Me<-) =i(-J) ; d = e. (15.53)

n=0 n=0 I

Для смещенной решетчатой функции аналогичная формула имеет вид

Ze{eTf[n + s]} = d.F(, б). (15.54)

4. Теорема об умножении оригинала на степенную функцию. Пусть решетчатой функции / [п] соответствует изображение F (z). Тогда можно показать, что



Если для отрицательных аргументов решетчатая функция тождественно равна нулю, то формула (15.60) упрош;ается:

Z{Wfln]}.Fiz). (15.61)

Для к-й обратной разности при f [п] = О для п <.0

Z{vf[n]}=()\Fiz). (15.62)

Полученные формулы изображений прямых и обратных разностей формально напоминают формулы для нахождения изображений производных непрерывных функций. Формула (15.62) аналогична случаю изображения производной к-то порядка непрерывной функции по начальным условиям слева при нулевых их значениях. Заметим, что при Т О (непрерывный случай) множитель в правой части стремится к пределу:

lua(-Y=lua(ff = pT. (15.63)

К такому же пределу стремится множитель (z - 1) в (15.59). Это также иллюстрирует сходство формул изображений производных и разностей.

6. Изображение сумм. Рассмотрим вначале неполную сумму (15.12):

оМ = S f[m].

7п=0

Составим первую прямую разность этой суммы

Да [и] = а [и 4- 1] - о [п] = f [п] и возьмем z-преобразование от правой и левой частей

Z {Ао [п]} = Z{f Ы}. На основании (15.59) имеем, далее,

(Z - 1) Z (а {пЦ = F (z). Отсюда можно найти изображение неполной суммы

2{аМ} = . (15.64)

Распространяя эту зависимость на случай /с-кратного суммирования можно записать

-2Kn}=-j£. (16.65)

Для полной суммы (15.13) аналогичным образом можно найти первую обратную разность

Voo {п\ = Оо [п] - Оо [/г - и = / [п\ и ее изображение из (15.61)

2 {VcTo n} = 2 {Оо м} =(z).

Отсюда изображение полной суммы

Z{oAn])=F{z). (15.66)

Для случая А-кратного суммирования

KM}=(j).F(z). (15.67)



Из приведенного рассмотрения вытекает справедливость равенства

Да [п] = Voo [п] = / [п]. (15.68)

Таким образом, взятие прямой разности и взятие неполной суммы (или обратной разности и полной суммы) решетчатой функции являются обратными операциями. Роль оператора, аналогичного оператору р = с + jo) в непрерывных системах, в первом случае играет оператор (z- 1), а во втором случае - оператор . В случае перехода к пределу при Г О обе

пары операций над решетчатыми функциями сливаются и превращаются в операции дифференцирования и интегрирования непрерывных функций.

7. Изображения решетчатых функций с измененным периодом следования. Пусть рассматривается решетчатая функция с периодом следования дискрет КТ, где % =ф1. Тогда на основании (15.29) можно записать

(15.69)

Из (15.69) следует, что при изменении периода в Я раз необходимо в изо , бражении решетчатой функции / [п] заменить z на z и У на XT. Так, напри мер, если рассматривается решетча-

тая функция 6-° *, то при введении периода XT в соответствии с табл. 15.1 изображение будет

F(z\ XT) = Z{e-} = - -

я>/.

где Zj = z и di = d. На рис. 15.8 построены для этого случая решетчатые функции с исходным периодом следования Т (рис. 15.8, а), растянутым периодом при Я>1 (рис. 15.8, б) и сжатым периодом при А, <; 1 (рис. 15.8, в).

8. Сумма ординат решетчатой функции. Если абсцисса абсолютной сходимости решетчатой функции отрицательна (с < 0), то, положив в (15.29) р = О, имеем

F{l) = limF(z)= S f[n\. (15.70)

9. Конечное значение решетчатой функции. Составим первую прямую разность решетчатой функции / [п] и на основании (15.47) найдем ее изображение

Z {Д/ [пЦ = (Z 1) F (z) - zf [01.

Далее на основании (15.70) найдем сумму ординат А/ [пЬ

~ *~

2 5 Рис. 15.8.

S Д/ [тг] = lim {z-1) F{z)-f [0].



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 [ 146 ] 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254