а без гистерезисной петли -

Wn (а) = q (а). (18.211)

Эта приближенная амплитудно-фазовая характеристика определяет амплитуду и фазу первой гармоники на выходе нелинейного звена (если на его вход подается синусоида), а именно выражение (18.210) можно представить в виде

(а) = An (а) еРн ),

Л. (а)-=Vlq {а)Г + [q (a)] Рн (а) = arctg.

(18.212)

Следовательно, амплитуда первой гармоники на выходе будет = аАц (а) а фазовый сдвш - Рн (а), где а - амплитуда на входе нелинейного звена.

Масштаб для кривых 1 2 3 4 5

8 12 16 20 24

/Масштаб для кривых

he б)

m=-Q5 j w=-Q25

m=Q25 lm=Q,S m=075

Рис. 18.39.

В результате получим следующие вынужденные колебания на выходе нелинейного звена (первая гармоника):

2 к, аЛн (а) sin [cof -- рн ( )!

Например, выходная величина релейного звена с характеристикой рис. 18.1, а меняется в процессе вынужденных колебаний по закону, изображенному сплошной ломаной линией на рис. 18.38, е. Пунктиром показана

основная синусоида для нее, причем из (18.212) и (18.15) имеем:

2 = aAs = 4г sin

Действительная ступенчатая кривая заменяется в данном случае синусоидой (первая гармоника), вершина которой совпадает с осью симметрии действительного прямоугольника (рис. 18.38, е).

Для нелинейных звеньев с уравнением вида Х2 = F (ж) без гистерезисной петли, как следует из § 18.1, д (а) = 0. Следовательно, для таких звеньев

го as ав

аг о

7 9 в)

l°° 2 3 4 5 6

Рис. 18.40.

As q (a) и pH = 0, т. e. вынужденные колебания на выходе не имеют фазового сдвига.

Одним из главных отличий вынужденных колебаний нелинейных систем от линейных является их существенная зависимость не только от частоты, но и от амплитуды входных колебаний. Эту главную особенность как раз и улавливает написанное здесь приближенное выражение амплитудно-фазовой характеристики нелинейного звена. В формулах (18.210) - (18.212) получилась зависимость только от амплитуды а, потому что ограничились рассмотре-

нием только нелинейности вида = F (ж). Для более сложных нелинейных звеньев в амплитудно-фазовую характеристику войдет также и частота со. Кроме того, как увидим ниже, зависимость от частоты будет всегда вводиться линейной частью системы.

В § 18.1 были приведены выражения q [а) и q (а) для наиболее типичных релейных и других простейших нелинейных звеньев. На основании этогО строятся приближенные амплитудные и фазовые характеристики путем вычислений по формулам (18.212). Результаты для простейших случаев приведены на рис. 18.39 и 18.40. Там приведены также и обратные амплитудно-фазовые характеристики

На графиках указаны все необходимые обозначения и типы нелинейных характеристик звеньев. Аналогичным путем можно построить графики и для других конкретных нелинейных звеньев.

Амплитудно-фазовая характеристика линейной части системы согласно (18.206) имеет вид

Общая приближенная амплитудно-фазовая характеристика всей разомкнутой цепи с нелинейный звеном .будет

W {а, со) = (а) W (/со) = [q {a)+jq (а)] W (/со). (18.215)

Следовательно, амплитуда и фаза первой гармоники выходной величины Жд определяемые формулами

3= I (а, со) I а и p8 = arg W (а, со), (18.216)

зависят здесь не только от частоты со, как в линейных системах, но еще и от-величины входной амплитуды а.

Отыскание автоколебаний замкнутой системы. Незатухающие синусоидальные колебания с постоянной амплитудой в замкнутой системе определяются согласно частотному критерию устойчивости (см. § 6.5) прохождением амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы через точку (-1, /0), т. е. равенством W = -1. Это и будет в данном случае условием существования периодического решения для замкнутой нелинейной системы, которое принимается приближенно синусоидальным. Мтак, имеем условие

W (а, со) = -1. Учитывая}(18.215) и (18.213), это можно записать в виде

Ил(7ю)= - Мн(й) (18.217)

где q (а) = О в случае отсутствия гистерезисной петли (правая часть (18.218) в этом случае будет вещественной).

Левая часть уравнения (18.218) или (18.217/ представляет собой амплитудно-фазовую характеристику линейной части системы, а правая - обратную амплитудно-фазовую характеристику нелинейного звена (для первой гармоники), взятую с обратным знаком. Решение этого уравнения можно получить графически как точку пересечения указанных двух характеристик