то уравнения Эйлера будут иметь вид

i?;--K=o.

at и

(12.133)

Как и ранее, при наличии связей вместо функции F должна рассматриваться функция Н, определяемая (12.131). Класс функций Ст определяется по наивысшей производной (12.131) т-го порядка.

Отметим, что решение уравнений (12.130) или (12.133) часто приводит к корням характеристического уравнения, половина которых лежит в левой, а половина - в правой полуплоскости. Это наблюдается при использовании квадратичных функционалов и конечном времени регулирования Т =

- Ч -

Для устранения неустойчивости, которая получится в случае присоединения подобного регулятора к системе (если, конечно, не обеспечивается его отключение после завершения требуемого процесса перевода из одного состояния в другое), можно, например, действовать аналогично изложенному в § 11.9 и отбросить в решении те полюсы передаточной функции, которые лежат в правой полуплоскости. Это соответствует, вообще говоря, переходу к функционалу вида

Fdt, (12.134)

т. е. бесконечному времени регулирования.

В этом случае искомые функции должны принадлежать к классу С, причем производная т-го порядка может иметь разрьш первого рода в точке f = 0.

При использовании изопериметрических ограничений типа (12.127) задача оптимизации решается также в соответствии с уравнениями (12.131), но должна быть использована функция

H = F+%i,Gh, (12.135)

ft=i

F . . 0 И F . . >- 0. Эти условия аналогичны требованию положитель-

нести второй производной в точке минимума функции у = f (х).

Однако задача без ограничений не имеет смысла применительно к системам регулирования и управления. Введем ограничения в виде связей типа (12.125) или (12.126). Тогда в уравнениях (12.130) вместо функции F должна использоваться функция

H = F+j]Mt)Gk, (12.131)

fe=i

где (i) - произвольные множители Лагранжа, в общем случае зависящие от времени t. Это будет вариационная задача на так называемый условный экстремум (т. е. при наличии наложенных связей).

При учете связей в виде дифференциальных уравнений класс функций С2т должен определяться по наивысшей производной выражения (12.131).

Если рассматривается одна переменная х (t), но функционал включает в себя производные х (t) более высоких порядков и имеет, например, вид

I=JF{x,x, ..., ж< ь и, и) dt, (12.132)

где Aft - произвольные постоянные множители Лагранжа. В этом случае для определения произвольных постоянных и множителей к граничным условиям должна добавляться совокупность условий (12.127).

Рассмотрим простейшие примеры. Пусть объект управления описывается уравнением

D{p)y = ( оР + (hP - + . . . + ап)у = и, (12.136)

где р = .

Цель управления заключается в переводе объекта из состояния у = О при i = О в состояние у = Уо при t = Т. В качестве критерия качества примем минимум функционала

/ = J [{У~Уо)+ yiu] dt, (12.137)

где yi ~ некоторый весовой коэффициент. Для функции (12.131)

Я = (г/ - УоГ + f-i + X[D{p)y~ и]

определим производные

=2,%,-х, -=--0,

4 = 2 (у - Уо) + n, = Xa-i,

(12.138)

Далее в соответствии с (12.133) находим X = 2\.vu, а также

2у + 2yi [а а + . . . + (-1) ар] = 2уо. (12.139)

Совместное решение (12.136) и (12.139) дает характеристическое уравнение

1 + + - + оЛ [ n - ап-гР + - + (-1Г оЛ = 0. (12.140)

Это уравнение содержит только четные степени р. Поэтому, если половина корней лежит в левой полуплоскости, то половина - в правой.

Упростим задачу и положим D (р) = ар -\- %. Тогда получим характеристическое уравнение в виде

1 + yi (gi -f ар) (gi - GoP) = i + \i4al- a) = 0.

Решение его дает корни

(12.141)

A.2=±-l/l + [.iX=±cc.

Теперь можно записать выражение для управляемой величины:

1У it) = Voi it) + Се-- .1 (t) + C,e-t .1 (t), (12.142)

где СI и С 2-произвольные постоянные. Из начального и конечного условий можно определить, что -\- = -Уо, а также

gO-T g-аТ

Если Г-> оо, то = О, а Ci == -уд. Тогда (г) = о(1--*)-1(), y{t)yoae-.l{t),

и (f) == Uiy (t) + аоу {t) = 0 [tti + {aoa - Oi) e Отметим, что принятие более сложного функционала

e- ].l(f). J

не усложняет исследования и дает корни вместо (12.141) в виде

(12.143)

(12.144)

(12.145)

Пусть теперь в рассматриваемом примере функционал не содержит управляющей величины и имеет, например, вид

r=--\[{y-yor + rY]dt. (12.146)

Тогда для функции (12.131)

Н = {у- УоГ + tV + lW{p)y-u]

имеем Ни -X и Н = 0. Отсюда следует, что ?i = 0. Тогда из уравнения Эйлера

Н-у~~Н = 2у~2гу~2у, = 0 получаем характеристическое уравнение и корни:

1 tV = 0, Pi.2 = ±~±a. (12.147)

Уравнение экстремали при Г ->- оо

y = y,{i~e).l{t) (12.148)

не зависит от вида полинома D (р). Подобный результат был получен другим способом ранее в § 8.8, когда экстремаль бьша решением характеристического уравнения 1 + тр = 0.

Однако при отсутствии ограничений на вид D (р) реализация экстремали (12.148) может привести к физически не осуществимым регуляторам. Действительно, из (12.136) следует, что регулятор должен обеспечить управляющее воздействие вида

и (t) == ау (t) + ап-1У (t) + . . . + apif) (t).

Однако уже первая производная (12.148) имеет при t = О разрьш первого рода, а вторая и следуюгцие производные содержат слагаемые типа S-функ-ции и ее производных:

y{t)=yoa-e-=*.l{t),

y{t)=-yo0e .i{t)+yoa8{t), .

y\t)-=-yoe--iit)~yb{t)+yo-b{tb