§ 11.8] РАСЧЕТ УСТАНОВИВШИХСЯ ОШИБОК 331

частотам спектральной плотности ошибки или через корреляционную функцию ошибки X (f).

В простейшем случае, когда задающ;ее воздействие g (t) представляет собой случайный стационарный процесс со спектральной плотностью Sg (со), а помеха отсутствует: / (t) = О, расчет можно свести к рассмотренной выше схеме (рис. 11.25). Тогда спектральная плотность ошибки будет ?Lxf

(со) = ЦФ, (/со) 2 S, (со). 1(11.119)

ivCp)

Частотная нередаточйая функция по ошиб- Рис 11.26.

ке Фж (/со) связана с частотными передаточными

функциями разомкнутой W (ja) и замкнутой Ф (/со) системы соотношением

Таким! образом, для спектральной плотности ошибки получаем

5. =,ттгр. (1.120)

Интегрирование зтого выражения по всем частотам позволяет определить дисперсию и среднеквадратичное значение ошибки:

= /5 = ]/ \ (со) dco. (И .121)

- оо

Вычисление дисперсии и среднеквадратичной ошибки через корреляционные функции может производиться на основании формулы (11.107). В качестве функции веса в рассматриваемом случае должна использоваться функция веса для ошибки Wx, (t), связанная с частотной передаточной функцией по ошибке преобразованием Фурье

Фл(/сй)= J wx{t) е-з<Ыг. о

После нахождения корреляционной функции ошибки (т) дисперсия определяется подстановкой т = О, т. е. £> = (0).

Однако нахождение среднеквадратичной ошибки посредством использования спектральных плотностей оказывается обычно более простым и поэтому применяется чащ;е.

В другом простейшем случае, когда задающее воздействие g {t) = О, а помеха представляет собой случайный стационарный процесс со спектральной плотностью Sj (со), аналогичным образом можно найти спектральную плотность ошибки:

(со) = I Ф; (/со) 1 Sj (со). (11.122)

В этом выражении Ф (/со) представляет собой частотную передаточную функцию:

ФИ/СО) =

X (/со)

связывающую изображения Фурье ошибки х (t) и помехи / (t).

В частном случае, когда помеха / (t) действует на входе системы в месте приложения задающего воздействия, в формуле (11.101) должна

Рассмотрим теперь общее выражение спектральной плотности ошибки для случая, когда задающее воздействие g {t) и помеха / {t) действуют одновременно (рис. 11.26).

Обозначим через {t) весовую функцию для ошибки но задающему воздействию и через Wf (t) весовую функцию для ошибки но помехе. Тогда ошибку можно представить в виде

со оо

ж (г) = J g (t-X) wx (X) dX+ J / (t-X) Wf (X) dX. (11.124)

Подставим зто выражение для ошибки в формулу корреляционной функции (11.51). В результате получим

1 оо оо

Д(т) = Ит-А J ей J g(f-f Т-Г1)ы;(г1)йг1 J я(г-Я)ы; (Я)йЯ +

Т оо ., оо

+ ]dtf {t + x- Г)) Wf (Г)) d-ц J / if-X) Wf (X) dX+

-T 0 0

T oo co

+ j СЙ J g (f + t-t)) ы;(ri) cZt) J / (t-X) Wf (X) dX +

-T 0 0

T oo oo

+ dtg{t~X)w:c{X)dXf{t + x~vi)Wf{vi)dy]}.

-T 0

Отсюда находим

Д(т)= j dX J {w{X)RAx + X-y])W:,{r]) + Wf(k)Rf{r + X-ri)u;f{r]) +

- OO -oo

+ Щ Щ Rfg (t + Я-t)) w (t)) -f w (X) Rgf (x + %-n)Wf (n)} dy], (11.125)

где Rgf (x) ж Rfg (t) - взаимные корреляционные функции.

Для нахождения спектральной плотности ошибки левую и правую части (11.125) умножим на е~< и проинтегрируем но х от -оо до -(-со. В результате выкладок, аналогичных тем, которые были проделаны нри выводе формулы (11.111), получим -

(со) = I Ф, (/со) Р 5g (со) -f I Ф, (/со) Р Sf (со) +\

® + Фх (/со) Sfg (со) Ф (/со) -Ь Ф* (/со) (со) Ф (/со). (11.126)

в этом выражении Sgf (со) и (со) представляют собой взаимные спектральные плотности полезного сигнала и помехи, а Ф (/со) и Ф/ (/со) - частотные передаточные функции для ошибки по задающему воздействию и помехе. Звездочкой обозначен сопряженный комплекс.

При отсутствии корреляции между полезным сигналом и помехой формула (11.126) упрощается:

(со) = I Ф (/со) р Sg (со) -f I Ф (/со) р Sf (со). (11.127)

использоваться частотная передаточная функция замкнутой системы

И = i Ф (7С0) р (со) = т5&Г И- (11-123)

так как для этого случая частотная передаточная функция Ф/ (/со) совпадает с частотной передаточной функцией замкнутой системы Ф (/со).

Все приведенные выше формулы для спектральной плотности ошибки X (f) могут быть легко переписаны для спектральной плотности выходной величины у (t), если в них заменить частотную передаточную функцию для ошибки Фд. (/со) на частотную передаточную функцию замкнутой системы Ф (/со) = 1 - Ф (/со).

§ 11.9. Расчеты по минимуму среднеквадратичной ошибки

Если на автоматическую систему действуют одновременно полезный сигнал и помеха, то возникает задача оптимального расчета системы с тем, чтобы получить наименьшую результирующую ошибку. С точки зрения наилучшего воспроизведения полезного сигнала система должна иметь возможно большую полосу пропускания, а с точки зрения наилучшего подавления помехи система, наоборот, должна иметь возможно меныную полосу пропускания. Критерием получения оптимального решения здесь будет минимальное значение результирующей ошибки системы, определяемой полезным сигналом и помехой.

Для случайных величин наиболее просто определить среднеквадратичную ошибку, поэтому ее и используют для оценки точности автоматической системы.

Рассмотрим расчет системы по критерию минимума среднеквадратичной ошибки при одновременном действии полезного сигнала и помехи.

Согласно этому критерию нежелательность ошибки пропорциональна квадрату ее величины. Такая посаановка является часто логичной, но она не может, конечно, претендовать на полную универсальность. В некоторых случаях, например при стрельбе по какой-либо цели, все ошибки, большие некоторого значения, являются одинаково нежелательными. Однако средний квадрат ошибки системы регулирования

= Km 4 \ х (t) dt (11.129)

практически во всех случаях является наиболее просто вычисляемой величиной, что и определило использование этого критерия.

Возможны несколько формулировок задачи. Наиболее просто задача может быть сформулирована так. Если имеется какая-то система автоматического регулирования заданной структуры, то необходимо так выбрать параметры этой системы, чтобы получить минимум среднеквадратичной ошибки при заданных статистических характеристиках полезного сигнала и помехи.

Эта задача решается следующим образом. По спектральной плотности ошибки путем ее интегрирования находится дисперсия. Дисперсия получается зависящей от вероятностных характеристик полезного сигнала, помехи и параметров системы. Затем ищутся условия, которые должны быть

В частном случае, когда помеха действует на входе в месте приложения управляющего воздействия и корреляция между ними отсутствует, формула (11.127) может быть представлена в следующем виде:

Sx ((0) = I Фос (70)) р Sg (со) -Ы Ф (/со) р Sf (со) =

ТР/И. (11-128)