У = Сх, t (5.91)

u = Dx.

Здесь использованы преобразованные матрицы коэффициентов: А = = RAR-\ Б = RB, С = CR-\ В = DR- и Ё = RE.

Введение новых фазовых координат посредством неособого преобразования X = Rx приводит к эквивалентным системам различной структуры. При некотором преобразовании может оказаться, что часть управляющих величин не входит в некоторые дифференциальные уравнения (5.91) или часть фазовых координат не участвует в формировании выхода у. В первом случае система будет не полностью управляемой, а во втором - не полностью наблюдаемой.

В случае не полностью управляемой системы ее исходные уравнения (5.87) могут быть представлены в виде

= A,iX + A,x + Bu,

dx .

у = Сх, uDx.

(5.92)

Это иллюстрирует рис. 5.15. Набор фазовых координат х соответствует упра-влямоой части фазовых координат, а набор х - неуправляемой части.

Фазовые координаты, а также составляющие управления, возмущения и выходных координат могут быть получены как проекции соответствующих векторов на оси, определяющие выбранные векторные пространства.

При использовании относительных (безразмерных) величин в качестве базиса может приниматься совокупность ортогональных векторов единичной длины, т. е. обычное тг-мерное евклидово пространство.

§ 5.6. Управляемость и наблюдаемость

Рассмотрим тг-мерное пространство состояния X, в котором каждому состоянию системы соответствует некоторое положение изображающей точки, определяемое значениями фазовых координат (i = 1, . . ., тг).

Пусть] в пространстве состояния X заданы два множества ТаХ и Га а X. Рассматриваемая система будет управляемой, если существует такое управление и (t) = \\ щи . . . \\, определенное на конечном интервале времени О t Т, которое переводит изображающую точку в пространстве X из подобласти Г в подобласть Т.

Можно сузить определение управляемости и понимать под ней возможность перевода изображающей точки из любой области пространства состояния X в начало координат. Система будет полностью управляемой, если каждое состояние управляемо в этом смысле.

От пространства состояния X перейдем к другому пространству X посредством неособого преобразования х = Rx, причем \ R О, где R - матрица коэффициентов п х п.

Тогда вместо (5.87) будем иметь

Ax+Bu + Ef,

р. Калманом [50] был доказан критерий управляемости, который гласит, что размерность v управляемой части системы, то есть порядок первой группы уравнений (5.91), совпадает с рангом матрицы

и=\\Б, АВ, (AY В ... [АТ- В lUxbn.

При V = п система полностью управляема, при О < v < управляема и при v = О полностью неуправляема.

(5.93)

п не полностью

Рис. 5.15.

Рис. 5.16.

На рис. 5.16, а изображен простейшЕий пример. Если рассматривать выходную величину у {t) при ненулевых начальных условиях, то можно записать

у it) = .Vb it) + Cie- + Ce- * + Ce-*, (5.94)

где a - T, b = T и с = Т, С, Cg и определяются начальными условиями до приложения входного сигнала щ [f), а Ув [t) - вынужденная составляющая. Система устойчива при а>0, Ь>Оис>0.

Если начальные условия до приложения щ (t) были нулевыми, то поведение системы может быть рассчитано по передаточной функции

wAp) = .

(i-bfiP) {1-ьад {1-ьад (1-ьгзр)

в этом случае но интегралу Дюамеля - Карсона t

V{t)=\ Щ (т) wi {t т) dx = Уз it) + Се- * + Cse .

(5.95)

(5.96)

Как следует из выражений (5.95) и (5.96), система во втором случае описывается дифференциальным уравнением не третьего, а второго порядка. Система будет устойчивой даже при я < 0.

Рассмотренная система будет не полностью управляемой. В ней оказывается, что и = 3, а V = 2.

При введении второй составляющей управления (t) система оказывается полностью] управляемой, и ей будет соответствовать матрица-строка передаточных функций но управлению

Wip) = \\ W,{p),W,{p)\\

В случае не полностью наблюдаемой системы ее уравнения могут быть шредставлены в виде

- = Anx-f-BiU,

У = С,хК u==Dix.

-р-т

Рис. 5.17.

Эти уравнения отличаются от (5.87) тем, что фазовые координаты группы не входят ни в выражения для у ли, тшв первое уравнение, куда входят только фазовые координаты группы х. Группа фазовых координат х

относится к ненаблюдаемым. Это иллюстрирует

рис. 5.17.

Р. Калманом [501 показано, что порядок первой группы уравнений v совпадает с рангом матрицы

V = II С, АС, (Af С, . . ., [АТ- С lUxn.

(5.98)

При V = п система полностью наблюдаема, при О < V < п - не полностью наблюдаема и при V = О полностью ненаблюдаема.

На рис. 5.16, б изображен простейший пример. Для него легко показать, что в формировании выхода участвуют только две фазовые координаты из трех.

В общем случае система может содержать четыре группы фазовых координат: управляемую, но ненаблюдаемую часть х, управляемую и наблюдаемую часть х, неуправляемую и ненаблюдаемую часть ж® и неуправляемую, но наблюдаемую часть x.

Исходные уравнения системы (5.87) в этом случае можно для самого общего случая записать следующим образом:

= Aiix -f Aix -h Aix -f + Biu,

dx dt dxfi-

= 44X4,.

u = DiX\-D:jc.

(5.99)

Левая часть характеристического уравнения (5.88) системы в этом случае содержит четыре сомножителя:

\Ip~A-BD\= т л л

О О О /р-Л4

= /р-Л11./р-Л2-ад-Кр-Лз-Кр-Л4 = 0. (5.100)

Управляемость и наблюдаемость системы в излоя енном смысле не всегда совпадает с практическими представлениями. Даже если какая-либо фазовая координата и может быть вычислена но доступным для измерения выходным величинам, обработка измеренных величин может быть, во-первых, сложной и, во-вторых, она может быть затруднена наличием помех. Поэтому практически наблюдаемыми координатами обьпно считаются те из них, которые могут быть непосредственно измерены датчиками различных типов.