=ау + си (12.149).

с начальньш условием у (0) = у. Требуется определить оптимальное управление и = -W-per (р) У1 переводящее систему в состояние у = О с бесконечным временем регулирования и минимизирующее функционал

/ = j (2 tV + Vu) dt. (12.150)

Рассматривая функцию (12.131)

Н = у + tV + [Ilf + 1{у-аи - си)

и используя уравнения (12.130) или (12.132), а такн№ уравнение объекта (12.149), можно получить характеристическое уравнение замкнутой оптимальной системы в виде

(сЧ -f [х) р2 - (с + lia) = 0. (12.151)

Корень, лежащий в левой полуплоскости, .

Уравнение экстремали, проходящей через граничные точки,

y=yo~yo{i-e-t).i{t). (12.152)

Предварительно определив

У = -ае- -1 (t),

из (12.149) можно найти, что управление должно изменяться по закону

и = (у - ау) = уос- [-{а + а) е -1 (t) - а {1 - I (t)}]. (12.153)

Приняв е- за неизвестную, входящую в два уравнения (12.152) и (12.153), можно записать условие их совместности:

y-yo[l~l{t)] yoi{t)

и+уфс- [1 -1 ( )] (а + а) Уос-* 1 it) Отсюда получается уравнение регулятора

= - +Т II -1 (12.154)

Первое слагаемое в правой части (12.154) соответствует собственно искомому оптимальному закону регулирования

и= -WAp)y- -У- (12.155)

= 0.

Поэтому физическая реализация возможна для степени D (р) не выше первой, но даже и в этом случае регулятор должен быть практически безьшер-ционным.

Получение физически не реализуемого регулятора произошло вследствие отсутствия ограничений или учета управления в принятом функционале качества (12.146). Для пол5ения возможности применения инерционных регуляторов в функционал качества можно вводить кроме управления и его производные. Однако в этом случае смысл функционала качества становится неясным.

Рассмотрим теперь замкнутую систему, у которой объект управления описывается дифференциальным уравнением

§ 12.9] ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРбВАНИЕ 383

Второе слагаемое в правой части (12.154) соответствует постоянному значе-шш управления и = Uq = аус, которое необходимо искусственно создать на выходе регулятора, чтобы в замкнутой системе до момента времени t = О (т. е. при < 0) управляемая величина была бы равна заданному значению Уо. Как следует из (12.154), при t = О это постоянное управление снимается и система начнет приходить в согласованное положение.

Если при t <сО рассматриваемая система была выключена и мела рассогласование у = уо, то слагаемое щ не нужно и формула (12.154) сводится к (12.155).

Рассмотренный пример относится к так называемому аналитическому конструированию регуляторов, которое будет изложено более подробно в § 12.10.

§ 12.9. Динамическое программирование

Метод динамического программирования был разработан Р. Беллманом 15]. Он применим не только для реюаения задач оптимизации систем управления, но и для самых различных технических и экономических задач. При обосновании этого метода предполагается, что функционал качества является дифференцируемой функцией фазовых координат системы. Заметим, что это условие выполняется не всегда.

Пусть система описывается совокупностью п уравнений, записанных для фазовых координат:

- = /,(Xi, ...,гг ) (i = l, ..., ), (12.156)

где fi - некоторые, в общем случае нелинейные функции фазовых координат и управлений. Число последних для общности принято равным числу фазовых координат.

Уравнения (12.156) можно представить также в матричной форме:

i = f{,u), (12.157)

где X ш и - матрицы-столбцы фазовых координат и управлений размером тг X 1.

Б качестве критерия оптимальности примем минимум функционала г

= j /о (Ж1, Хп, щ, ...,Un) dt. (12.158)

Функции /о и fi, вообще говоря, могут содержать в явном виде текущее время t. Однако это не меняет принципиальной постановки задачи.

Целью управления является перевод системы из состояния = Oj при t = О в состояние = bi при t = Т {i - I, . . ., п). Такая задача управления называется терминальной, и она соответствует определению в фазовом пространстве оптимальной траектории с закрепленными концами.

Будем считать, что фазовые координаты и управления должны принадлежать некоторым замкнутым (ограниченным) пространствам, т. е.

x{t)£X, х(0)=йСо, x{T) = b£Gr, I

ити, 0<.<Г. } (12.159)

Можно несколько расширить цель управления и считать, что конец траектории должен только находиться в заданной области х {Т) Сь при t = Т. Это будет задача со свободным концом траектории.

Вместо исходной можно решать более общую задачу отыскания оптимального управления для произвольной временной точки О < fо <

И произвольной точки в фазовом пространстве х (t € в смысле минимума функционала

Io=\u{,u)&t. (12.160)

Минимум функционала (12.160) зависит от начального момента времени to и начальной точки х = х (f). Обозначим этот минимум через -ф (жо). Функция ф (Ж(,) для некоторой совокупности фазовых координат х (t может, вообще говоря, не существовать, так как может не существовать допустимого управления, удовлетворяющего (12.156).

Если найдены функция -ф (ж) и требуемое управление и {t, Хд), то, положив to = О ш Xf) = а, где а - матрица-столбец начальных условий, мы получим решение исходной задачи.

Принцип оптимальности. Примем начальные условия: при t=to х {tg) = = о € G, оптимальное управление и (t, ад) реализует минимум функционала (12.160), а X (t, ао) - оптимальная траектория в фазовом пространстве. Выберем произвольный момент времени t, принадлежащий интервалу 0 - Т, и обозначим через точку = ж (i, о) на оптимальной траектории X {t, йо). Принцип оптимальности гласит следующее.

Если принять значения t и % за начальные, то на интервале t - Т оптимальное управление и (t, а) совпадет с оптимальным управлением и (t, ао) и, следовательно, участок оптимальной траектории х (t, йо) для задачи с начальной точкой (to, ао) на интервале t - Т совпадет с оптимальной траекторией для задачи с начальной точкой (fj, а). Доказательство достаточно очевидно. Оно исходит из того, что значение функционала качества на участке t - Т должно быть одинаковьш при управлениях и {t, а и и (t, ад). Если бы это было не так и значение функционала на этом интервале времени было бы, например, меньше для управления и (t, а), то управление и {t, ао) можно было бы улучшить, заменив его на интервале t - Т управлением и (t, а), что противоречит принятому предположению об оптимальности управления и {t, ао)-

Итак, в соответствии с изложенным введем функциональное уравнение

[Т, x(to)] = mm [ fo{x, u)dt, (12.161)

на основании которого может быть найдено оптимальное управление и (х).

Если на промежутке to - Т выбрать промежуточную точку t, то на основании принципа оптимальности

ф IT, X(to)] = min I ( /о(x, и) dt+lT, X (ti)]} . (12.162)

Функция ф и оптимальное управление обычно не могут быть найдены аналитическим путем. Для этой цели применяются приближенные методы с использованием вычислительных машин. Рассмотрим идею приблинсенного расчета.

Пусть t - фиксированное значение времени, & At - малый отрезок времени, причем О <.t + At <С Т. Тогда

t+ht т

г15 (f, ж) = min I j fo{x,u)dx-\- j /о(ж, м)йт, (12.163)

t t+M

где функции X (т) и и (т) связаны условиями (12.157).