и характеристический комплекс

D (/со) = + /со - соМГу + гм) - lTyT. Вещественная и мнимая части:

Z (со) = - СО {Ту + Гм), Г (со) = со - СОГуГм.

Примерный вид кривой Михайлова для этого случая изображен на рис. 6.11.

г; /Найдем условие устойчивости из требования чередования корней О = со < cOg < СО3. Корень со находится из уравнения X (со) = 0:

согОу

Отсюда имеем первое условие устойчивости: К

Корень СО3 находится из уравнения Y (со) = 0:

СОо = -

Рис. 6.11.

Т/УуГм

Подставляя эти значения в требуемое условие

со 3, получаем второе условие устойчивости системы

т т

которое, конечно, совпадает с полученньш ранее условиев! устойчивости по критерию Гурвица.

§ 6.4. Построение областей устойчивости. 1)-разбиение

При расчете и проектировании, системы автоматического регулирования иногда бывает необходтйш исследовать влияние ее различных параметров на устойчивость. Для решения этой задачи служит построение областей устойчивости, т. е. определение таких областей значений параметров, при которых система оказывается устойчивой.

Различают построение областей устойчивости в плоскости одного параметра и в плсэскости двух параметров. Ниже будет рассматриваться только построение областей устойчивости в плоскости двух параметров. Для построения таких областей на плоскости двух параметров А шВ необходимо нанести линии, соответствующие границе устойчивости. Тогда область, ограниченная этими линиями, будет представлять собой область устойчивости. Для того чтобы окончательно убедиться в этом, необходимо для любой точки, лежащей внутри полученной области, по какому-либо критерию проверить устойчивость. Если устойчивость для этой точки будет иметь место, то она будет выполняться и для всех других точек, лежащих в этой области.

Для построения границ области устойчивости используются все три признака существующих типов границы устойчивости. Для границы устойчивости первого типа это будет равенство а = 0. Для границы устойчивости третьего типа - равенство ао = 0.

Для получения условия, соответствующего границе устойчивости второго типа (колебательной), можно использовать различные критерии устойчивости.

Для систем, описываемых уравнением не выше четвертого порядка, может применяться критерий Гурвица. В этом случае колебательной границе устойчивости соответствует равенство нулю предпоследнего определителя Гурвица: Д 1=:0.

дХ дХ

дА ев

dY dY

дА дв

ф21)

Если же определитель отрицателен, то кривую надо штриховать справа. При соблюдении этого правила штриховка будет направлена внутрь области устойчивости, если параметр А отложен по оси абсцисс вправо, а параметр В - по оси ординат вверх.

В качестве иллюстрации рассмотрим следящую систему, схема KOTopoii изображена на рис. 6.4. Для этой системы было получено характеристическое уравнение

ТуТ + {Ту + Т)р + р -h = 0.

Предположим, что электромеханическая постоянная времени двигателя Гм является заданной величиной и требуется построить область устойчивости в плоскости двух параметров: общего коэффициента усиления К и постоянной времени усилителя Ту.

Характеристический комплекс

D (/со) = Z + /со - со {Ту -f Тц) - /соГуГм. Уравнения, определяющие границу устойчивости,

X = К - а{Ту+ Т) =Q, У = со - (йТуТ = 0.

Для уравнений любого порядка удобно использовать критерий Михайлова. Колебательной границе устойчивости в этом случае соответствует равенство нулю характеристического комплекса: D (/со) = О, т. е. прохождение кривой Михайлова через начало координат.

Предположим, что два рассматрхшаемых параметра системы регулирования А ж В входят линейно в характеристический комплекс. Тогда для гра-1ШЦЫ устойчивости колебательного типа уравнение Z) (/ш, Л, S) = О распадается на два уравнения:

УКЛ2?)=0. 1 (-

Здесь величина со дает значение чисто мнимого корня, т. е. частоту гармонических колебаний системы.

Два последних выражения представляют собой параметрические уравнения грашщы устойчивости при соблюдении дополнительного условия отрицательности вещественных частей всех остальных корней, кроме чисто мнимых. Полная же совокупность всех кривых на плоскости параметров, разбивающая всю плоскость на области с определентш распределением корней, называется D-разбшнием плоскости параметров. Обычно практическое значение имеет лишь часть кривых Д-разбиения, сответствующая границе устойчивости.

Для упрощения выделения границ области устойчивости из всего комплекса кривых 2)-разбиения на плоскости двух параметров вводится хптри-ховка этих кривых, производимая по правилу, которое будет приведено без доказательства. Перемещаясь вдоль кривой в сторону увеличения со, надо штриховать ее с левой стороны, если будет положительньш определитель, составленный из частных производных (6.26):

Решая их совместно относительно параметров К и Ту, получим

Т -

Задаваясь затем различными значениями со в пределах от нуля до бесконечности, по этим формулам можно вычислить значения искомых параметров

Об\ласть

i/cmdiuvuBocmu /- ff

Рис. 6.12.

Таблица 6.1

и составить табл. 6.1, одинаковую для положителыгах и отрицательных частот.

По полученным данньш строим кривую /)-разбиения (рис. 6.12). Кривая

имеет гиперболический вид с асимптотами К = при со = О и Гу = О

м

при со оо.

Для нанесения штриховки найдем знак определителя (6.27). Необходимые для этого частные производгпяе будут при А = К ж В = Ту.

дК еу

дХ дТу

= -С02

Определитель получается равным

1 -со2 О -соГ,

Для отрицательных частот, т. е. при изменении частоты в пределах от - оо до О, полученный определитель будет положительным. Поэтому при движении по полученной кривой снизу вверх (от -оо до 0) необходимо штриховать область, лежащую слева от кривой.

Для положительных частот, т. е. при изменении частоты в пределах от О до +00, полученный определитель будет отрицательным. Поэтому при движении по полученной кривой сверху вниз (от О до -Ьоо) необходимо штриховать область, лежащую справа от кривой. Снизу полученной кривой получится двойная штриховка.

Область устойчивости практически уже сформировалась. Так как параметры К и Ту должны быть положительными, область устойчивости будет ограничиваться полученнох кривой и положительными направлениями осей К и Ту.

Это можно показать и на основе использования двух оставшихся условий устойчивости. Граница устойчивости первого типа будет получена, если приравнять нулю свободный член, а = О, что дает условие К = д. Это условие выполняется на оси ординат. Граница устойчивости третьего типа попу-