Главная ->  Логарифмическое определение устойчивости 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 [ 181 ] 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254

аналогично и для q (а). Отсюда

д = ~(>р2+ 2ф2 + -ф1 + уsin 2г1;) ,

= - 4 (sin2 Фа - sin2 ipi) {а > fea),

(18.24)

Ьп . сА-Ьк , . bi . с - Ък /-о ог\

4f)2 = arcsin - arcsin --j~ , ofj = arcsin - = arcsm -r-. (lo.o)

Если в таком нелине11ном звене амплитуда колебаний входной величины Xi будет а -< fe, то в процессе колебаний не будет захватываться зона насыщения и получится чисто гистерезисная характеристика (рис. 18.3, в). В данном случае

а--!-, ф! = arcsin (1-). (18.26)

Уравнение звена с гистерезисной характеристикой вида рис. 18.3, в поэтому будет иметь форму (18.9), где согласно (18.24)

, ко, ikb f . Ь \ / 74

(18.27)

Величина -ф вычисляется по формуле (18.26).

Такого же типа характеристика (рис. 18.3, в) получалась и для чувствительного элемента с сухим трением в системе регулирования давления, рассмотренной в § 16 (см. рис. 16.21, б), когда мы пренебрегали массой. Следовательно, для такого нелинейного звена с сухим трепием будут справедливы те же форму.пы (18.27) с заменой в них только

= (18.28)

а уравнение (16.58) для колебательного процесса в форме (18.9) будет

Т1 =

д{а)-\--~-р ц>- высшие гармоники. (18.29)

Этого же тшта характеристика (рис. 18.3, в) имела место и для нелинейного звена с зазором в следящей системе (см. рис. 16.20, б)., причем там к = I. Следовательно, уравнение (16.55) данного нелинейного звена (для колебательного процесса) запишется в виде

Р~ д{а)+--~- Pi-[-высшие гар.ионики, (18.30)

где д (а) и д (а) определяются по формулам (18.27); в которых надо считать /с = 1.

Для нелинейностей, не заданных аналитически, существует графический способ определения д (а) (см. § 3.8 в книге [100]).

§ 18.2. Алгебраические способы определения автоколебаний и устойчивости в нелинейных системах первого класса

Основываясь на вышеизложенной гармонической линеаризации, составим гармонически линеаризованное уравнение всей замкнутой нелинейной автоматической системы в целом (рис. 16.1). Пусть известно дифференциальное уравнение линейной части системы



причем линейная часть может иметь структуру любой сложности (и любой порядок уравнения).

Уравнение нелинейного звена

= F {xi, pxi)

в колебательном процессе после гармонической линеаризации запишем в виде

Ж2 =

(18.32)

В частности, для нелинейной характеристики х = F {х без гистеризис-ной петли будет

х= q (а) х.

Уравнение нелинейного звена (18.32) записано, как видим, без учета высших гармоник, фигурировавших в предыдущ;ем параграфе. Это сделано отнюдь не потому, что они малы. В отдельно взятом нелинейном звене при подаче на вход х- = а sin at в общ;ем случае на выходе обязательно появятся

высшие гармоники. Однако в замкнутой автоматической системе (рис. 18.4, а) линейная часть имеет обьгано амплитудную частотную характеристику одного из двух видов, показанных на рис. 18.4, б. Поэтому высшие гармоники, имеющ;иеся у переменной х, гасятся в линейной части и переменная х- оказывается достаточно близкой к синусоиде: = а sin со it. В таком виде и будем искать приближенное периодическое решение для нелинейной автоматической системы. Свойство линейной части системы, определяющее вид амплитудной частотной характеристики типа изображенной на рис. 18.4, б, именуется свойством фильтра. Аналитическое обоснование сказанного см. в книге [100, § 2.2].

Как ВИДШ1, в коэффициенты уравнения (18.32) входят амплитуда а и частота со искомого колебательного процесса.

На основании уравнений (18.31) и (18.32) можно написать гармонически линеаризованное характеристическое уравнение замкнутой нелинейной системы в виде

(18.33)


Рис. 18.4.

Q{p)+Rip)[q+p)=0

с теми же особенностями в коэффициентах, что и в уравнении (18.6), описанными в § 18.1.

В том случае, когда в замкнутой системе возникают собственные незатухающие колебания постоянной амплитуды й = и постоянной частоты со = со и (автоколебания), коэффициенты уравнения (18.32), а значит, и коэффициенты характеристического уравнения (18.33), становятся постоянными. Вместе с тем из линейной теории известно, что появление указанных колебаний в системе при постоянных коэффициентах соответствует наличию пары чисто мнимых корней в характеристическом уравнении системы.

Следовательно, можно обнаружить в замкнутой нелинейной системе появление незатухающих собственных колебаний вида х а sin сОп ( п = = const, сОц = const), подставив в характеристическое уравнение (18.33) Р = /©п- Если эта подстановка р = /сОц соответствует каким-нибудь веще-



ственным положительным значениям а = аж а = при заданных параметрах системы, то такие колебания возможны. Но подстановка р = /сОд в характеристическое уравнение с постоянными коэффициентами эквивалентна отысканию границы устойчивости линейной системы. Следовательно, появление незатухающих собственных колебаний в нелинейной системе можно обнаружить применением к характеристическому уравнению (18.33) любого из методов определения границы устойчивости линейной системы, изложенных в главе 6.

Основной способ определения периодических решений. Используем непосредственную подстановку р = ja) в гармонически линеаризованное характеристическое уравнение, а именно

Q (70)) + R (7со) [д (а, со) + jg {а, о)] = О, (18.34)

при неизвестных постоянных значениях амплитуды а и частоты со, входящих Б коэффициенты д ж д, причем для однозначной нелинейной характеристики F (xj) будет

Q (/со) + R (/со) д (а) = 0.

Выделим в выражении (18.34) вещественную и мнимую части:

X (со) + jY (со) = О, (18.35)

и введем для частоты и амплитуды искомого периодического решения обозначения: О) = СОп, G = п- Это дает два уравнения:

Y (Юп, )

}. (18.36)

из которых и определяются неизвестные частота сОд и амплитуда а.

Если уравнения (18.36) не имеют положительных вещественных решений для и и coji, то периодические решения вообще (а значит, и автоколебания) Б данной нелинейной системе невозможны.

Исследование устойчивости периодического решения дается ниже.

С помощью уравнений (18.36) можно не только определять частоту соц и амплитуду автоколебаний при заданных параметрах системы, но и построить графики зависимостей сОд и от какого-либо параметра системы, например коэффициента усиления к. Для этого нужно считать в уравнениях (18.36) параметр к переменным и записывать эти уравнения в виде

(Юп, йш /с) = 0,

Y ( я, йп, к) = 0.

Отсюда можно найти зависимости

п = п (к), СОп = fi> {к)

и построить их, например, в виде графиков рис. 18.5, а, б. На основании этих графиков можно будет выбирать параметр к так, чтобы амплитуда автоколебаний была достаточно малой, чтобы частота их не была опасной для данной системы или же, наконец, чтобы автоколебаний не было вовсе (А;-< ferp) Кроме того, с помощью тех же уравнений (18.36) можно строить линии равных значений амплитуды и частоты автоколебаний на плоскости двух каких-либо параметров системы, например /с и Г. Для этого уравнения (18.36) записываются в виде

Х(сОп, йп, /с, 7 ) = О,

(18.37)

Y (сй , йп, fe, Т) =

= о } -



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 [ 181 ] 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254