аналогично и для q (а). Отсюда

д = ~(>р2+ 2ф2 + -ф1 + уsin 2г1;) ,

= - 4 (sin2 Фа - sin2 ipi) {а > fea),

(18.24)

Ьп . сА-Ьк , . bi . с - Ък /-о ог\

4f)2 = arcsin - arcsin --j~ , ofj = arcsin - = arcsm -r-. (lo.o)

Если в таком нелине11ном звене амплитуда колебаний входной величины Xi будет а -< fe, то в процессе колебаний не будет захватываться зона насыщения и получится чисто гистерезисная характеристика (рис. 18.3, в). В данном случае

а--!-, ф! = arcsin (1-). (18.26)

Уравнение звена с гистерезисной характеристикой вида рис. 18.3, в поэтому будет иметь форму (18.9), где согласно (18.24)

, ко, ikb f . Ь \ / 74

(18.27)

Величина -ф вычисляется по формуле (18.26).

Такого же типа характеристика (рис. 18.3, в) получалась и для чувствительного элемента с сухим трением в системе регулирования давления, рассмотренной в § 16 (см. рис. 16.21, б), когда мы пренебрегали массой. Следовательно, для такого нелинейного звена с сухим трепием будут справедливы те же форму.пы (18.27) с заменой в них только

= (18.28)

а уравнение (16.58) для колебательного процесса в форме (18.9) будет

Т1 =

д{а)-\--~-р ц>- высшие гармоники. (18.29)

Этого же тшта характеристика (рис. 18.3, в) имела место и для нелинейного звена с зазором в следящей системе (см. рис. 16.20, б)., причем там к = I. Следовательно, уравнение (16.55) данного нелинейного звена (для колебательного процесса) запишется в виде

Р~ д{а)+--~- Pi-[-высшие гар.ионики, (18.30)

где д (а) и д (а) определяются по формулам (18.27); в которых надо считать /с = 1.

Для нелинейностей, не заданных аналитически, существует графический способ определения д (а) (см. § 3.8 в книге [100]).

§ 18.2. Алгебраические способы определения автоколебаний и устойчивости в нелинейных системах первого класса

Основываясь на вышеизложенной гармонической линеаризации, составим гармонически линеаризованное уравнение всей замкнутой нелинейной автоматической системы в целом (рис. 16.1). Пусть известно дифференциальное уравнение линейной части системы

причем линейная часть может иметь структуру любой сложности (и любой порядок уравнения).

Уравнение нелинейного звена

= F {xi, pxi)

в колебательном процессе после гармонической линеаризации запишем в виде

Ж2 =

(18.32)

В частности, для нелинейной характеристики х = F {х без гистеризис-ной петли будет

х= q (а) х.

Уравнение нелинейного звена (18.32) записано, как видим, без учета высших гармоник, фигурировавших в предыдущ;ем параграфе. Это сделано отнюдь не потому, что они малы. В отдельно взятом нелинейном звене при подаче на вход х- = а sin at в общ;ем случае на выходе обязательно появятся

высшие гармоники. Однако в замкнутой автоматической системе (рис. 18.4, а) линейная часть имеет обьгано амплитудную частотную характеристику одного из двух видов, показанных на рис. 18.4, б. Поэтому высшие гармоники, имеющ;иеся у переменной х, гасятся в линейной части и переменная х- оказывается достаточно близкой к синусоиде: = а sin со it. В таком виде и будем искать приближенное периодическое решение для нелинейной автоматической системы. Свойство линейной части системы, определяющее вид амплитудной частотной характеристики типа изображенной на рис. 18.4, б, именуется свойством фильтра. Аналитическое обоснование сказанного см. в книге [100, § 2.2].

Как ВИДШ1, в коэффициенты уравнения (18.32) входят амплитуда а и частота со искомого колебательного процесса.

На основании уравнений (18.31) и (18.32) можно написать гармонически линеаризованное характеристическое уравнение замкнутой нелинейной системы в виде

(18.33)

Рис. 18.4.

Q{p)+Rip)[q+p)=0

с теми же особенностями в коэффициентах, что и в уравнении (18.6), описанными в § 18.1.

В том случае, когда в замкнутой системе возникают собственные незатухающие колебания постоянной амплитуды й = и постоянной частоты со = со и (автоколебания), коэффициенты уравнения (18.32), а значит, и коэффициенты характеристического уравнения (18.33), становятся постоянными. Вместе с тем из линейной теории известно, что появление указанных колебаний в системе при постоянных коэффициентах соответствует наличию пары чисто мнимых корней в характеристическом уравнении системы.

Следовательно, можно обнаружить в замкнутой нелинейной системе появление незатухающих собственных колебаний вида х а sin сОп ( п = = const, сОц = const), подставив в характеристическое уравнение (18.33) Р = /©п- Если эта подстановка р = /сОц соответствует каким-нибудь веще-

ственным положительным значениям а = аж а = при заданных параметрах системы, то такие колебания возможны. Но подстановка р = /сОд в характеристическое уравнение с постоянными коэффициентами эквивалентна отысканию границы устойчивости линейной системы. Следовательно, появление незатухающих собственных колебаний в нелинейной системе можно обнаружить применением к характеристическому уравнению (18.33) любого из методов определения границы устойчивости линейной системы, изложенных в главе 6.

Основной способ определения периодических решений. Используем непосредственную подстановку р = ja) в гармонически линеаризованное характеристическое уравнение, а именно

Q (70)) + R (7со) [д (а, со) + jg {а, о)] = О, (18.34)

при неизвестных постоянных значениях амплитуды а и частоты со, входящих Б коэффициенты д ж д, причем для однозначной нелинейной характеристики F (xj) будет

Q (/со) + R (/со) д (а) = 0.

Выделим в выражении (18.34) вещественную и мнимую части:

X (со) + jY (со) = О, (18.35)

и введем для частоты и амплитуды искомого периодического решения обозначения: О) = СОп, G = п- Это дает два уравнения:

Y (Юп, )

}. (18.36)

из которых и определяются неизвестные частота сОд и амплитуда а.

Если уравнения (18.36) не имеют положительных вещественных решений для и и coji, то периодические решения вообще (а значит, и автоколебания) Б данной нелинейной системе невозможны.

Исследование устойчивости периодического решения дается ниже.

С помощью уравнений (18.36) можно не только определять частоту соц и амплитуду автоколебаний при заданных параметрах системы, но и построить графики зависимостей сОд и от какого-либо параметра системы, например коэффициента усиления к. Для этого нужно считать в уравнениях (18.36) параметр к переменным и записывать эти уравнения в виде

(Юп, йш /с) = 0,

Y ( я, йп, к) = 0.

Отсюда можно найти зависимости

п = п (к), СОп = fi> {к)

и построить их, например, в виде графиков рис. 18.5, а, б. На основании этих графиков можно будет выбирать параметр к так, чтобы амплитуда автоколебаний была достаточно малой, чтобы частота их не была опасной для данной системы или же, наконец, чтобы автоколебаний не было вовсе (А;-< ferp) Кроме того, с помощью тех же уравнений (18.36) можно строить линии равных значений амплитуды и частоты автоколебаний на плоскости двух каких-либо параметров системы, например /с и Г. Для этого уравнения (18.36) записываются в виде

Х(сОп, йп, /с, 7 ) = О,

(18.37)

Y (сй , йп, fe, Т) =

= о } -