10. Начальное значение решетчатой функции. Составим первую прямую разность

Д/[и - 1] =/Ы -/1п - 1]

и на основании (15.48) найдем ее изображение

Z {Д/ [п -. 1]} = (1 - Z-1) F(z)-f [0].

Рассмотрим теперь предел выражения

Ит2{Д/[п-1]} = Ит S A/[n-l]z- =0.

2-VO0 Zoo n=0

Тогда из последних двух формул можно найти

/[0] = lim/[n] = lim =i/(z). (15.73)

7l->0 Z- -oo

Зависимости (15.72) и (15.73) представляют собой аналоги соответствующих выражений для нахождения конечного и начального значений непрерывной функции f (t) по ее изображению Лапласа:

\imf{t)=\impFa(j)), lim / (f) = lim р/л (р)

11. Свертка решетчатых функций. Если

Z {А [п]} = F (z), Z iUln]} = F, (z), TO можно показать, что

FUz)Fziz) = Z[j] fdv]Mn~v]}Z[j] fdn-v]Mv]}.. (15.74)

v=0 v=0

Эта формула аналогична соответствующему выражению для свертки двух непрерьшных функций.

12. Формула обращения. Рассмотрим задачу нахождения решетчатой функции (оригинала) по ее изображению. Эту операцию запишем в символическом виде как обратное г-преобравоеание:

f [п] = {F (z)}, (15.75)

/ [п, el = V {F (z, 8)}. (15.76)

Заметим, что аргумент изображения обладает свойством

Кроме того, можно записать

оо оо . -

S А/М= S if[n + l]-f[n]) = limf[n]-f[0].

п-О п=0 гг->-оо

Из двух последних выражений следует:

lim/[n] = Hm(z-l)/{z). (15.71)

n->-do z->-l

Если провести аналогичное рассмотрение с первой обратной разностью, то можно получить формулу для вычисления конечного значения решетчатой функции в другом виде:

lim/[n] = lim-=i/(z). (15.72)

где к - произвольное целое число. Вследствие этого изображения F (z) и F (z, е) представляют собой периодическую функцию относительно мнимой части аргумента р = у + jco с периодом 2лТ , что дает основание рассматривать изображения только внутри интервала изменения 0<сй <

<; 2пТ~. Удобнее использовать интервал

-< © лГ~, так как он оказывается аналогичньш интервалу частот -оо < со < сю, рассматриваемому обычно для непрерывных функций времени. Принятый интервал дает на комплексной плоскости р = у + /со область (рис. 15.9), в которой достаточно рассматривать изображение F {z) = F (е).

Изображение F (z) может иметь в этой области особые точки типа полюсов - pi (где i = = 1, 2, . . ., к). Полюсы могут быть или вещественными или комплексно сопряженньши. В случае /э, 2 = Ti ± /лГ достаточно рассматривать один из этих полюсов, соответствующий, например, положительной мнимой части. (на верхней границе области).

Рассмотрим выражение (15.29):

- /(z)=S / Nz- =S / Ме-.

rt=0 Tfc=0

Умножим левую и правую его части на е р, где т - целое число, и проинтегрируем его вдоль линии L (рис. 15.9) в пределах от = с ]пТ~ до с + iT~, где с - произвольная величина, больщая, чем абсцисса

Рис. 15.9.

aбcoлютнoйj сходимости:

2 / Ne

-рпТ

X Р2

dp = 2 /Mje-- - >dp. (15.78)

При зтом все полюса F {е будут лежать в рассматриваемой области на комплексной плоскости левее линии интегрирования L. Это и дает право изменить в (15.78) порядок операций интегрирования и суммирования. Если п =фт, 10

-рГ(п-т)

dp =

g-pTin-m)

{п-т)Т

g-c(n- n) (n - m)T

Если n = m, 10

dp={c + ynr-i) - (c-jnT-) i2nT-. Вследствие этого (15.78) можно представить в виде

J F (е) dp = 72лГ-1/ [т].

Заменяя m на и, получим окончательно формулу обращения

с+г2лт-1

c-i2nT-l

ResF (z) z -i =

Аналогичные формулы обращения имеют место и для смещенной решетчатой функции:

с+глТ-1

/tl/fe i Fie, 8) еdp, (15.84)

/ [n, 81 ) (z, 8) z -i dz= 2 Resvi (z, 8) z -i. (15.85)

Полученные выражения (15.79), (15.80), (15.84) и (15.85) несколько сложны для практического использования. Поэтому для нахождения решетчатой функции по ее изображению обычно применяются другие методы, которые даны ниже.

13. Формулы разложения. Если изображение представляет собой простейшую табличную форму (см., например, табл. 15.1), то переход к оригиналу не представляет трудностей. Сложная дробно-рациональная форма может быть представлена в виде суммы дробей первой степени. Рассмотрим некоторые употребительные разновидности формулы разложения.

а) Пусть изображение F (z) представляет собой отношение двух многочленов:

В (z) В (Z)

причем будем предполагать, что степень числителя не выше, чем степень, знаменателя, а корни знаменателя простые. Тогда изображение можно представить в виде суммы

v=l (v)

Так как z = е ж dz = Tz dp, то формула обращения (15.79) может бьть также представлена в другом виде:

/[n]=./(z)zidz=2 Resv/(z)z*. (15.80)

Интегрирование ведется по окружности с центром в начале координат и радиусом i? > I Zv Imaxi где V = 1, 2, . . ., I - полюсы функции F (z).

В случае простых полюсов значение интегрального вычета в точке Z = Zv может быть определено из выражения

ResF{z) z -i= lim (z-Zv) F (z) z -i. (15.81)

В случае полюса кратности г значение интегрального вычета в точке Z = z определяется выражением

Res,/(z)z-i = -;rlimJ[/(z) (z-zYz (15.82)

Если функция F (z) имеет нулевой полюс кратности г, то для функции F (z) z - при п = О полюс будет иметь кратность г + 1. В этом случае значение интегрального вычета в точке z = О будет

l.iim-[F{z)z-*% п=0,

(15.83)