§ 13.5] О СИНТЕЗЕ СИСТЕМ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ 409

В соответствии с формулой (13.11) ошибку системы можно представить в виде

x{t) = (6, t - Q)g{t-Q) т. (13.86)

Разлагая задающее воздействие в ряд Тейлора около точки t и подставляя его в (13.86), получаем

x{t) = g{t)

w{Q, t-Q)dQ-g{t) { и;(е, f 0)0d0 +

+ 1 ix{Q,t-Q)QdQ+... (13.87)

Ограничимся случаем, когда t > t, где - время затухания функции веса. Тогда верхний предел интегрирования в (13.87) можно положить равным бесконечности. В результате (13.87) можно представить в виде

X (t) = Со it) g (t) + ci it) g (t) + 4p- g\t) + (13.88)

Здесь введено понятие козффициептов ошибок, определяемых выражением

(- 1) Cft (t) = j (6, f - 0) 0 dQ. (13.89)

В отличие от коэффициентов ошибок системы с постоянными параметрами здесь они получаются зависящими от времени.

Коэффициенты ошибок можно вычислить с помопц,ю параметрической передаточной функции по ошибке (р, t). Из (13.62) следует

ОО оо

[W (р, г)]р=о = [ J и; (0, * - 6) е-ре dQ] = j wAQ,t-- 0) dQ = Co (t). (13.90)

Дифференцируя (p, if) no p и положив затем p = О, получаем формулу для определения к-то коэффициента:

ИО = [ЬХ... (13.91)

Коэффициенты ошибок могут быть также получены делением числителя (р, t) па знаменатель так, чтобы получить ряд по возрастающим степеням р.

Коэффициенты ошибок могут также определяться для возмущающего воздействия по соответствующей функции веса или по параметрической передаточной функции относительно возмущающего воздействия.

§ 13.5. О синтезе систем с переменными параметрами

Ввиду сложности математического решения синтез систем регулирова-Ш1я с переменными параметрами, как правило, должен осуществляться при помощи вычислительных машин непрерывного или дискретного действия, а также посредством реального моделирования. Вычислительные машины позволяют просмотреть все наиболее важные режимы работы системы, оце-Ш1ть ее качественные показатели и подобрать необходимые корректирующие средства.

Однако во многих случаях, oco6eimo для квазистационархшх систем, МОЖНО провести синтез расчетньш путем. Это позволяет более сознательно подойти к определению структуры проектируемой системы и параметров корректирующих средств, что значительно сокращает объем последующих исследований и проверок на вычислительных машинах и моделях.

Метод замороженных коэффициентов. Одним из наиболее простых способов является замораживание переменных во времени параметров в какой-то фиксированный момент времени t = что ведет к замораживанию коэффициентов дифференциального уравнения (13.1). В этом случае система с переменными параметрами сводится к системе с постоянньши параметрами, что позволяет применять для нее известные методы синтеза (см. главу 12).

Разница по сравнению с системами, имеющими постоянные коэффициенты, заключается в том, что исследование системы с замороженными коэффициентами должно быть последовательно проведено для различных моментов времени t = лежащих в интервале О < & < Г, где Т - время работы системы.

Если во всем рабочем интервале времени от О до Г качество системы регулирования оказывается приемлемым, то ее считают работоспособной и при изменении коэффициентов уравнения в исследованных пределах.

. Этот метод будет давать правильные результаты, если в течение времени переходного процесса (пока функция веса не затухнет практически до нуля) коэффициенты уравнения (13.1) успеют мало изменить свое значение.

Следует заметить, что эффективность рассматриваемого метода может зависеть от правильного выбора фиксированных моментов времени, для которых производится замораживание коэффициентов. Необходимо так выбирать эти моменты времени, чтобы охватить все возможные варианты значений коэффициентов, обратив особое внимание на опасные точки, в которых происходит значительное изменение коэффициента, смена его знака и т. п. Безусловно, что правильный выбор рассматриваемых моментов времени во многом зависит от опыта проектировщика.

Метод замороженных реакций. Во многих случаях переменными параметрами обладает не вся система регулирования, а одно из ее звеньев. Чаще

всего таким звеном оказывается объект регулирования. Задача синтеза будет сильно упрощена, если звено с переменивши параметрами исследовать отдельно, а затем приближенно заменить его в окрестностях Рис. 13.8. некоторой точки &(, эквивалентным

звеном с постоянными параметрами. Задача оказьшается более простой вследствие того, что в большинстве случаев дифференциальное уравнение звена с переменными параметрами может быть сведено к уравнению первого или второго порядка.

Этот метод оказывается более точным, чем метод замороженных коэффициентов, так как при замене звена с переменными параметрами эквивалентным звеном с постоянньши параметрами учитывается факт переменности параметров исходного звена, что будет определять вид и параметры эквивалентного звена.

Идея метода заключается в следующем. Пусть имеется некоторая система регулирования (рис. 13.8), содержащая в своем составе звено с переменными параметрами. Часть системы, соответствующая постоянным параметрам, выделена в отдельное звено.

Для звена с постоянными параметрами может быть определена весовая 4ункция (т), которая зависит только от времени х = t - (рис. 13.1),

J 13.5] О СИНТЕЗЕ СИСТЕМ С ПЙРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ 411

и соответствующая ей передаточная функция

Wi (р) = j г1 (т) е-Р dr. (13.92)

Для звена с переменными параметрами определим весовую функцию Wz{t - Q,Q) = Wz{T,Q). Эта весовая функция может быть найдена точно, если дифференциальное уравнение звена имеет первый или второй порядок, или приближенными методами в соответствии с изложенным в § 13.2 и § 13.3. Для ее нахождения могут быть также использованы вычислительные машины с последующей аппроксимацией решения.

После нахождения весовой функции заморозим ее для некоторого фиксированного момента времени t = Оц полагая при этом, что весовая функция на небольшом интервале времени вблизи точки f = Oq зависит только от времени т = т - & и не зависит от зафиксированного значения смещения. Таким образом, мы получим функцию

Wz (t - Ьо) = Wz (т, &о). (13.93)

Заметим при этом, что мы фиксируем аргумент & не полностью, а только в той его части, которая делает рельеф функции веса нецилиндрическим. В результате этого оба разреза (рис. 13.2) получаются одинаковыми, т. е. весовые функции (13.5) и (13.7) совпадают.

Для весовой функции (13.93) может быть найдена передаточная функция

Wz (р, flo) = ( (т, flo) e-Pdr. (13.94)

Эта передаточная функция по своей сущности является параметрической, так как в нее входит фиксированный параметр Оц. Однако по своим свойствам она полностью совпадает с передаточной функцией звена с постоянными параметрами. Вследствие этого будем называть ее эквивалентной передаточной функцией. С этой передаточной функцией можно в дальнейшем оперировать так, как будто рассматривается звено с постоянными параметрами. В связи с этим рассматриваемую передаточную функцию можно записать сокращенно: Wz (р, Qo) = Wz (р).

Однако при этом надо помнить, что исследование системы должно быть произведено при различных значениях фиксированного параметра в пределах О < Оо < У-

Для системы, изображенной на рис. 13.8, при использовании эквивалентной передаточной функции может быть найдена передаточная функция разомкнутой системы

W{p) ==W{p)Wz{p), . (13.95)

передаточная функция замкнутой системы

iP) - i+W{p) - i-\-Wi(p)Wz(P) >

и передаточная функция по ошибке

Фх(р)=1-Ф(р)= 1 + HhU.(p) (12-97)

Эти функции могут быть использованы обычным образом, как это делается для систем с постоянными параметрами при исследовании устойчивости, точности и качества регулирования, но исследование должно охватить весь рабочий интервал {) от О до Г.