472. v , . импульсные системы ! [гл.. Й

на квадрат модуля частотной передаточной функции:

52(co) = W(eior)P5i(co), Stm = \W*{jK)\St{K). (15.197),

Интегрирование спектральной плотности по всем частотам в соответствии с (15.192) и (15.193) позволяет найти средний квадрат выходной вели- чины xl [п]. Это позволяет для замкнутой импульсной системы производить расчеты, аналогичные изложенным в § 11.8. Так, например, пусть в схеме, изображенной на рис. 15.11, на входе действуют полезный сигнал g {t} и помеха п (t), не коррелированные между собой. Обозначим их спектральные плотности Sg (К) и St Щ. Тогда спектральная плотность ошибки

ад=Фг(А):р5(х)-ыФ*хА)р5й(я), (15.198)

где Ф* (jK) и Ф% (А) - частотные передаточные функции замкнутой системы и замкнутой системы по ошибке.

Интегрирование (15.198) по всем частотам в соответствии с (15.193) дает средний квадрат ошибки

Подобным же образом могут быть найдены расчетные формулы и дл. других возможных случаев (см. § 11.8).

Р А 3 Д Е л IV . .

НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

ГЛАВА 16

СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

§ 16.1. Обыще понятия

]Нелинейной системой автоматического регулирования называется такая система, которая содержит хотя бы одно звено, описываемое нелинейным уравнением. [Перечислим виды нелинейных звеньев:

1) звено релейного типа (рис. 1.12);

2) звено с кусочно-линейной характеристикой (рис. 1.10, д и др.);

3) звено с криволинейной характеристикой любого очертания;

4) звено, уравнение которого содержит произведение переменных или их производных и другие их комбинации;

5) нелинейное звено с запаздыванием, причем запаздывание понимается в смысле § 14.1, а нелинейность может иметь любой вид;

6) нелинейное импульсное звено;

7) логическое звено;

8) звенья, описываемые кусочно-линейными дифференциальньши уравнениями, в том числе переменная структура.

Различают статические и динамические нелинейности. Первые представляются в виде нелинейных статических характеристик, а вторые - в виде нелинейных дифференциальных уравнений.

Общий метод составления уравнений для нелинейных систем состоит в следующем. Сначала по правилам § 3.1, как делалось в главе 5, производится линеаризация уравнений всех звеньев системы, для которых это-допустимо, кроме существенно нелинейных звеньев (чаще всего одного-двух). Затем составляются уравнения этих последних звеньев со всеми допустимыми упрощениями их характеристик.

В результате получается система обыкновенных линейных уравнений, к которым добавляется одно-два (иногда более) нелинейных. В соответствии с этим обобщенную структурную схему любой нелинейной системы автоматического регулирования в случае одного нелинейного звена можно представить в виде рис. 16.1, с, где линейная часть может иметь структуру любой сложности (с обратными связями и т. п., как, например, на рис. 16.1, 6 или ё). В случае двух нелинейных звеньев могут быть разные комбинации, в зависимости от того, в какие цепи системы они входят (см., например, рис. 16.2).

Часто при исследовании нелинейных систем автоматического регулирования удается выделить нелинейность так, чтобы она описывалась непосредственно зависимостью между выходной и входной величинами

Xz = F (xi), (16.1).

которая может иметь любую форму (релейного типа, кусочно-линейного или криволинейного). Но иногда, как будет показано в следующих

Нелинейное ЗВЕНО

Линейная часть J системы

Нелиней- aj. ное

ЗВЕНО

Нелшей-

звено

Рис. 16.1.

сводится, например, также случай с двумя нелинейными звеньями, указанный на рис. 16.2, е, так как там они могут быть объединены в одно нелинейное звено. Сюда же относится и случай, показанный на рис. 16.2, г, где имеются два нелинейных звена (если их уравнения содержат под знаком нелинейности только входную величину х, например, вида (16.1) или (16.2)).

2. Второй класс нелинейных систем включает системы с любым числом нелинейных звеньев, когда под знаки нелинейных функций входят различные переменные, связанные между собой линейной передаточной функцией. Так будет в случае системы с одним нелинейным звеном вида (16.4) или (16.5), а также в системе с двумя нелинейными звеньями (рис. 16.2, с или г), если в первом из них под знак нелинейности входит входная величина, а во втором - выходная. Система же рис. 16.2, б относится ко второму классу, если под знаки нелинейностей входят в обоих звеньях либо только входные, либо только выходные величины нелинейных звеньев.

Ко второму классу нелинейных систем относятся такие системы с двумя и более нелинейностями, в уравнениях которых под знаки нелинейных функций входят разные переменные, связанные между собой нелинейными дифференциальными уравнениями (т. е. связаппые через линейные части и нелинейные звенья). К таким системам относятся, напри-

параграфах, не удается этого сделать и приходится исследовать нелинейные дифференциальные зависимости вида

х = F {xi, pxi), х = Fi (xj) + F (рх), (16.2)

F {px, X2) = CyXi, Fi (px, px + F {x = cXy и т. п. (16.3)

Встречаются и более сложные случаи, когда обе величины (входная и выходная) оказываются под знаком нелинейной функции раздельно:

F {РХ2, 2) = 1 3 iP2) + F2 {Х2) = Fi (Хг), (16.4)

или же вместе:

F (рх, х, Хг) = О, F (х) + Fi (х, Хг) = 0. (16.5)

Разделим все нелинейные системы регулирования на два больших класса.

1.К первому классу нелинейных систем отнесем такие, в которых уравнение нелинейного звена приводится к любому из видов (16.1) - (16.3), т. е. когда под знаком нелинейной функции стоит только входная величина (и ее производные) либо только выходная величина (и ее производные). При этом имеется в виду, что схема системы в целом может быть -приведена к виду рис. 16.1 с одним нелинейным звеном. К этому классу