§ 5.1] ОБЩИЙ МЕТОД СОСТАВЛЕНИЯ ИСХОДНЫХ УРАВНЕНИЙ ЮЗ

раизированный оператор дифференцирования Р = эту совокупность можно представить в виде (

11 (Р) 1 + 12 (р) 0С+ ... + dik (Р) OCk = /i (t),

21 (Р) Xi + as(p) Х2 + ... + аь (Р) = /г (f),

(Р) 1 + ги (р) аа + + ьь (р) = /ь (t).

(5.1)

где 2, . . ., Xk - обобщенные координаты системы, в том числе и регулируемая величина у (t) и ощибка X (t), а Д (t), {t), . . ., (t) - функции времени, представляющие собой задающие и возмущающие воздействия. В дальнейшем без потери общности рассуждений будем считать, что к системе приложены только два воздействия - задающее воздействие g (t) и возмущающее воздействие / (t). Например, можно положить, что /j (t) - g (t), iiit) = f (t). Кроме того, в (5.1) введены некоторые полиномы ац{р) от оператора р.

Совокупность (5.1) может быть решена относительно любой обобщенной координаты. Обычно она решается либо относительно отклонения регулируемой величины от заданного значения, т. е. ошибки ж (t), либо относительно регулируемой величины у (t).

Первый случай встречается чаще, так как исследование изменения ошибки, как правило, является более важным. В этом случае получается дифференциальное уравнение

D (р) x(t) =Q (р) g{t) + N (р) / (t). (5.2)

Полином D (р) степени п от оператора Р = характеризует свободное

движение регулируемого объекта с регулятором. Он называется характеристическим полиномом и может быть представлен в виде

D (р) = а р -{- а -1 -{-...-{- а + а , (5.3)

где ttQ, . . ., в линеаризованной системе представляют собой постоянные коэффициенты.

Полином Q (р) той же степени

Q (Р) = СоР + cip -i -{-...+ Сп-гР + Сп, (5.4)

где Cfl, . . ., Сп - постоянные коэффициенты, определяют влияние задающего воздействия g (t) на характер изменения ошибки х (t). Под задающим воздействием g{t) здесь понимается требуемый закон изменения регулируемой величины у (t). Выражение Q (р) g (t) не равно нулю только в случае программного регулирования и в следящих системах. В системах автоматической стабилизации g (t) = const. Поэтому всегда можно выбрать начало отсчета так, чтобы g (t) = О, что упрощает выражение (5.2).

Полином N (р) определяет влияние возмущающего воздействия / (t) на характер изменения ошибки х (t). В уравнении (5.2) учтено одно возмущение / (t), действующее на систему регулирования. В принципе таких возмущений монгет быть несколько. Однако вследствие линейности действует принцип суперпозиции и достаточно рассмотреть методику учета только одного возмущения; при наличии нескольких возмущений необходимо лхппь просуммировать результат. Если для какого-либо возмущающего воздействия /к (t) Ф О полином TVk ip) = О, то говорят, что система автоматического регулирования является инвариантной относительно этого воздействия.

Равным образом в системах программного регулирования и в следящих системах равенство (р) = О означает, что система является инвариантной относительно задающего воздействия.

Из (5.2) вьггекает, что ошибка системы автоматического регулирования может быть представлена в виде суммы двух составляющих. Первая составляющая определяется наличием.задающего воздействия g (t). Вторая составляющая определяется наличием возмущающего воздействия (в общем случае - возмущающих воздействий или начальных условий). В системах автоматической стабилизации ошибка сводится только ко второй составляющей, т. е. определяется только наличием возмущающих воздействий.

При решении системы дифференциальных уравнений относительно регулируемой величины у [t) получается так называемое уравнение движения регулируемого объекта при наличии автоматического регулирования.

Это уравнениеможет быть получено в результате подстановки выражения для ошибки X [t) = g (t) - у (t) в уравнение (5.2):

D(p)y{t) = R (р) g{t)-N(p)f (t), (5.5)

R(p)=D{p)-Q (p).

Степень этого полинома тп:

R(P) = Кр + bip - + . . . + bm-lP + bm.

Как уже говорилось выше, в системах автоматической стабилизации при g (t) = const можно при соответствующем выборе начала отсчета получить g (t) = О, что упрощает выражение (5.5).

При заданных функциях времени в правых частях дифференциальных уравнений (5.2) и (5.5) эти уравнения могут быть решены (проинтегрированы) относительно искомых функций времени, т. е. может быть найдено изменение ошибки регулирования во времени х (t) из (5.2) и движение регулируемого объекта вместе с регулятором у (t) из (5.5).

Уравнения (5.1) могут быть также представлены в форме Коши, т. е. в виде совокупности п уравнений первого порядка, где п - порядок полинома D (р):

7=3 ajiXi + 2 bjifi (/ = 1. ...,n). (5.6)

г=1 г=1

Здесь Xi и = I, . . ., п), в отличие от (5.1), представляют собой так называемые фазовые координаты системы, /г (i = 1, . . ., /с) - задающие и возмущающие воздействия, а коэффициенты ал и Ьл суть вещественные числа.

Если в (5.6) ввести алгебраизированный оператор и обозначить Xj = = pxj, то эта совокупность уравнений может быть разрешена относительно любой из фазовых координат Xi.

§ 5.2. Передаточные функции систем автоматического регулирования

Записанные выше дифференциальные уравнения систем автоматического регулирования (5.2) и (5.5) могут быть получены также на основании понятия передаточной функции, которое было введено в главе 3. Рассмотрим рис. 5.1, где изображена система автоматического регулирования по замкнутому циклу.

Предположим вначале, что чувствительный элемент (ЧЭ) отсоединен от регулируемого объекта (РО), и рассмотрим так называемую разомкнутую систему автоматического регулирования.

Управляющее (или регулирующее) воздействие, которое прикладывает исполнительный элемент (ИЭ) к регулируемому объекту, определяется выражением

и (t) = X it), (5.7)

§ 5.2]

ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ СИСТЕМ РЕГУЛИРОВАНИЯ

где X - рассогласование на выходе чувствительного элемента, Wt ip) - передаточная функция цепи регулирования.

Регулируемая величина может быть найдена из выражения

У it) = Wo{p)u it) + Wf(p)f (t), (5.8)

где Wo (p) - передаточная функция регулируемого объекта по регулирующему воздействию, Wf (р) - передаточная функция регулируемого объекта по возмущающему воздействию / (t).

Как и ранее, предполагается, что на объект регулирования (или на систему регулирования) действует одно возмущающее воздействие / (t). При наличии нескольких возмущений на основании принципа суперпозиции необходимо будет про- . (t)

суммировать члены вида Wk (р) /к (t), где /к (t) и Wk (р) - возмущение и соответствующая ему передаточная функция по возмущению. РО

Подставляя (5.7) и (5.8), получаем

y{t) = W (р) X (t) + Wf(p)f it). (5.9) yft)

Здесь введена так называемая передаточная функция разомкнутой системы

W (р) = Wo (р) VFper (р) = , (5.10)

ff(i)

ПУ -1

Рис. 5.1.

где R {р) ш Q (р) представляют собой некоторые полиномы от р.

Передаточную функцию разомкнутой системы можно определить как отнощение изображений регулируемой величины и ошибки при нулевых начальных условиях и возмущающих воздействиях, равных нулю:

(5.11)

где р = с 4- /(О - комплексная величина.

Применительно к функциям времени, которые использовались в формулах (5.7) - (5.9), передаточная функция разомкнутой системы дает возможность в символической или операторной форме записать дифференциальное уравнение, связывающее регулируемую величину у {t) с ошибкой х (f) в разомкнутой системе:

y{t) = W (р) X it), (5.-12)

где р - - алгебраизированный оператор дифференцирования. Учитывая (5.10), формулу (5.12) можно также записать в виде Q{p)y it) = R(p)x it).

(5.13)

Передаточнан[)нюдая системы имеет весьма большое зна-

чение в теоргаГавтоматического регулирования, так какшогие методы анализа и синтеза основаны на использовании именно-этой.функции..

Рассмотрим теперь замкнутую систему, т. е. предположим, что чувствительный элемент соединен с регулируемым объектом. При этом можно записать так называемое уравнение замыкания:

{t) = g{t)-y (t). (5.14)

Решая (5.9) и (5.14) совместно, получаем для регулируемой величины

i+w(p)

g{t)-

i + w(p)

fit)

(5.15)