Обновления
Хрущовки
Архитектура Румынии
Венецианское Биеннале
Столица Грац
Дом над водопадом
Защита зданий от атмосферных осадков
Краковские тенденции
Легендарный город Севастополь
Новый Париж Миттерана
Парадоксы Советской архитектуры
Реконструкция города Фрунзе
Реконструкция столицы Узбекистана
Софиевка - природа и искусство
Строительство по американски
Строительтво в Чикаго
Тектоника здания
Австрийская архитектура
Постмодернизм в Польше
Промышленное строительство
Строительство в Японии
Далее
|
Главная -> Логарифмическое определение устойчивости § 5.1] ОБЩИЙ МЕТОД СОСТАВЛЕНИЯ ИСХОДНЫХ УРАВНЕНИЙ ЮЗ раизированный оператор дифференцирования Р = эту совокупность можно представить в виде ( 11 (Р) 1 + 12 (р) 0С+ ... + dik (Р) OCk = /i (t), 21 (Р) Xi + as(p) Х2 + ... + аь (Р) = /г (f), (Р) 1 + ги (р) аа + + ьь (р) = /ь (t). (5.1) где 2, . . ., Xk - обобщенные координаты системы, в том числе и регулируемая величина у (t) и ощибка X (t), а Д (t), {t), . . ., (t) - функции времени, представляющие собой задающие и возмущающие воздействия. В дальнейшем без потери общности рассуждений будем считать, что к системе приложены только два воздействия - задающее воздействие g (t) и возмущающее воздействие / (t). Например, можно положить, что /j (t) - g (t), iiit) = f (t). Кроме того, в (5.1) введены некоторые полиномы ац{р) от оператора р. Совокупность (5.1) может быть решена относительно любой обобщенной координаты. Обычно она решается либо относительно отклонения регулируемой величины от заданного значения, т. е. ошибки ж (t), либо относительно регулируемой величины у (t). Первый случай встречается чаще, так как исследование изменения ошибки, как правило, является более важным. В этом случае получается дифференциальное уравнение D (р) x(t) =Q (р) g{t) + N (р) / (t). (5.2) Полином D (р) степени п от оператора Р = характеризует свободное движение регулируемого объекта с регулятором. Он называется характеристическим полиномом и может быть представлен в виде D (р) = а р -{- а -1 -{-...-{- а + а , (5.3) где ttQ, . . ., в линеаризованной системе представляют собой постоянные коэффициенты. Полином Q (р) той же степени Q (Р) = СоР + cip -i -{-...+ Сп-гР + Сп, (5.4) где Cfl, . . ., Сп - постоянные коэффициенты, определяют влияние задающего воздействия g (t) на характер изменения ошибки х (t). Под задающим воздействием g{t) здесь понимается требуемый закон изменения регулируемой величины у (t). Выражение Q (р) g (t) не равно нулю только в случае программного регулирования и в следящих системах. В системах автоматической стабилизации g (t) = const. Поэтому всегда можно выбрать начало отсчета так, чтобы g (t) = О, что упрощает выражение (5.2). Полином N (р) определяет влияние возмущающего воздействия / (t) на характер изменения ошибки х (t). В уравнении (5.2) учтено одно возмущение / (t), действующее на систему регулирования. В принципе таких возмущений монгет быть несколько. Однако вследствие линейности действует принцип суперпозиции и достаточно рассмотреть методику учета только одного возмущения; при наличии нескольких возмущений необходимо лхппь просуммировать результат. Если для какого-либо возмущающего воздействия /к (t) Ф О полином TVk ip) = О, то говорят, что система автоматического регулирования является инвариантной относительно этого воздействия. Равным образом в системах программного регулирования и в следящих системах равенство (р) = О означает, что система является инвариантной относительно задающего воздействия. Из (5.2) вьггекает, что ошибка системы автоматического регулирования может быть представлена в виде суммы двух составляющих. Первая составляющая определяется наличием.задающего воздействия g (t). Вторая составляющая определяется наличием возмущающего воздействия (в общем случае - возмущающих воздействий или начальных условий). В системах автоматической стабилизации ошибка сводится только ко второй составляющей, т. е. определяется только наличием возмущающих воздействий. При решении системы дифференциальных уравнений относительно регулируемой величины у [t) получается так называемое уравнение движения регулируемого объекта при наличии автоматического регулирования. Это уравнениеможет быть получено в результате подстановки выражения для ошибки X [t) = g (t) - у (t) в уравнение (5.2): D(p)y{t) = R (р) g{t)-N(p)f (t), (5.5) R(p)=D{p)-Q (p). Степень этого полинома тп: R(P) = Кр + bip - + . . . + bm-lP + bm. Как уже говорилось выше, в системах автоматической стабилизации при g (t) = const можно при соответствующем выборе начала отсчета получить g (t) = О, что упрощает выражение (5.5). При заданных функциях времени в правых частях дифференциальных уравнений (5.2) и (5.5) эти уравнения могут быть решены (проинтегрированы) относительно искомых функций времени, т. е. может быть найдено изменение ошибки регулирования во времени х (t) из (5.2) и движение регулируемого объекта вместе с регулятором у (t) из (5.5). Уравнения (5.1) могут быть также представлены в форме Коши, т. е. в виде совокупности п уравнений первого порядка, где п - порядок полинома D (р): 7=3 ajiXi + 2 bjifi (/ = 1. ...,n). (5.6) г=1 г=1 Здесь Xi и = I, . . ., п), в отличие от (5.1), представляют собой так называемые фазовые координаты системы, /г (i = 1, . . ., /с) - задающие и возмущающие воздействия, а коэффициенты ал и Ьл суть вещественные числа. Если в (5.6) ввести алгебраизированный оператор и обозначить Xj = = pxj, то эта совокупность уравнений может быть разрешена относительно любой из фазовых координат Xi. § 5.2. Передаточные функции систем автоматического регулирования Записанные выше дифференциальные уравнения систем автоматического регулирования (5.2) и (5.5) могут быть получены также на основании понятия передаточной функции, которое было введено в главе 3. Рассмотрим рис. 5.1, где изображена система автоматического регулирования по замкнутому циклу. Предположим вначале, что чувствительный элемент (ЧЭ) отсоединен от регулируемого объекта (РО), и рассмотрим так называемую разомкнутую систему автоматического регулирования. Управляющее (или регулирующее) воздействие, которое прикладывает исполнительный элемент (ИЭ) к регулируемому объекту, определяется выражением и (t) = X it), (5.7) § 5.2] ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ СИСТЕМ РЕГУЛИРОВАНИЯ где X - рассогласование на выходе чувствительного элемента, Wt ip) - передаточная функция цепи регулирования. Регулируемая величина может быть найдена из выражения У it) = Wo{p)u it) + Wf(p)f (t), (5.8) где Wo (p) - передаточная функция регулируемого объекта по регулирующему воздействию, Wf (р) - передаточная функция регулируемого объекта по возмущающему воздействию / (t). Как и ранее, предполагается, что на объект регулирования (или на систему регулирования) действует одно возмущающее воздействие / (t). При наличии нескольких возмущений на основании принципа суперпозиции необходимо будет про- . (t) суммировать члены вида Wk (р) /к (t), где /к (t) и Wk (р) - возмущение и соответствующая ему передаточная функция по возмущению. РО Подставляя (5.7) и (5.8), получаем y{t) = W (р) X (t) + Wf(p)f it). (5.9) yft) Здесь введена так называемая передаточная функция разомкнутой системы W (р) = Wo (р) VFper (р) = , (5.10) ff(i) ПУ -1 Рис. 5.1. где R {р) ш Q (р) представляют собой некоторые полиномы от р. Передаточную функцию разомкнутой системы можно определить как отнощение изображений регулируемой величины и ошибки при нулевых начальных условиях и возмущающих воздействиях, равных нулю: (5.11) где р = с 4- /(О - комплексная величина. Применительно к функциям времени, которые использовались в формулах (5.7) - (5.9), передаточная функция разомкнутой системы дает возможность в символической или операторной форме записать дифференциальное уравнение, связывающее регулируемую величину у {t) с ошибкой х (f) в разомкнутой системе: y{t) = W (р) X it), (5.-12) где р - - алгебраизированный оператор дифференцирования. Учитывая (5.10), формулу (5.12) можно также записать в виде Q{p)y it) = R(p)x it). (5.13) Передаточнан[)нюдая системы имеет весьма большое зна- чение в теоргаГавтоматического регулирования, так какшогие методы анализа и синтеза основаны на использовании именно-этой.функции.. Рассмотрим теперь замкнутую систему, т. е. предположим, что чувствительный элемент соединен с регулируемым объектом. При этом можно записать так называемое уравнение замыкания: {t) = g{t)-y (t). (5.14) Решая (5.9) и (5.14) совместно, получаем для регулируемой величины i+w(p) g{t)- i + w(p) fit) (5.15)
|