Таблица 4.1

Типовые звенья

Тип звена

Передаточная функция

Безынерционное

W(p) = k

Апериодическое 1-го порядка

Апериодическое 2-го порядка

Колебательное

Консервативное

W{p)=-

l+Tp

W{p)-.

(1+Узр)(1+ад

W(,p)-.

W(p)=-

& м

Идеальное интегрирующее

W{p) = -

Интегрирующее с замедлением

W(p) =

Р(1 + Тр)

Изодромное

Идеальное дифференцирующее

W(p)kp

Дифференцирующее с замедлением

W{p)=-

1 + Тр

§ 4.2. Временные характеристики

Динамические свойства звена могут быть определены по его переходной функции и функции веса.

Переходная функция, или переходная характеристика, h (t) представляет собой переходный процесс на выходе звена, возникающий при подаче на его вход С1сачкообразного воздействия при величине скачка, равной единице (рис. 4.3).. Такое входное воздействие называется единичной ступенчатой функцией и обозначается х [t) = i [t), что соответствует = О при ? < О

§4.2]

ВРЕМЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

И ai = 1 при tO. Предполагается, что единица имеет ту же размерность, что и физическая величина на входе звена.

Если входное воздействие представляет собой неединичную ступенчатую функцию Xi = N-l {t), выходная величина будет равна х = Nh {t).

Более строго переходную функцию можно определить как отношение выходной величины звена х {t) к высоте ступенчатого скачка х (t) = N Л {t) на его входе, т. е. h {t) = N~ -х {t). При этом размерность h (t) соответствует размерности передаточной функции звена.

Ступенчатая функция представляет собой распространенный вид входного воздействия в автоматических системах. К такому виду сводятся мгновенное изменение нагрузки электрического генератора, мгновенное возрастание нагрузки на валу двигателя, мгновенный поворот входного валика следящей системы и т. п.

Умножение какой-либо функции времени х {t) на единичную ступенчатую функцию 1 {t) означает, что функция времени х (t) будет существовать

Рис. 4.3.

Рис. 4.4.

Рис. 4.5.

только при tQ, при f < О она обращается в нуль. Это иллюстрируется рис. 4.4.

Функция веса w (t) представляет собой реакцию звена на единичную импульсную функцию, поданную на его вход (рис. 4.5). Единичная импульсная функция, или дельта-функция, представляет собой производную от единичной ступенчатой функции: б (f) = 1 (t). Дельта-функция тождественно равна нулю повсюду, кроме точки t = О, где она стремится к бесконечности.

Основное свойство дельта-функции заключается в том, что

+ О0

J 6(f)df==l,

(4.3)

т. е. она имеет единичную площадь.

Из последнего вырансения следует, что размерность единичной дельта-функции равна [сек~Ц.

Дельта-функция может быть представлена как предел некоторого выражения, например:

6(0 = limae-*l (О-

Нетрудно установить связь между переходной функцией и функцией веса. Рассмотрим входное воздействие звена в виде конечного но высоте и ширине импульса с площадью Ne = 1, прикладываемого при f = О

(рис. 4.6). Такой имнульс может быть заменен двумя ступенчатыми функциями iV-1 (i) и .-Ni (t - е), прикладываемыми ко входу звена со сдвигом во времени е. Тогда выходная величина звена будет равна

(t) = N[h{t)-hit- е)].

(4.4)

Будем теперь увеличивать высоту импульса N, одновременно уменьшая его ширину Е, но так, чтобы все время площадь импульса равнялась единице,

т. е. ЛЕ = 1. Помножив и поделив правую часть равенства (4.4) на е и перейдя к пределу, ползучим функцию веса

(0 = limiMz:ii=Mi. (4.5)

Рис. 4.6.

. Таким образом, функция веса может быть получена дифференцированием по времени переходной функции.

В случае, если на вход звена поступает неединичная импульсная функция х- = G6 (t), на выходе г звена получится = Gw [t).

Более строго функцию веса можно определить как отношение выходной величины звена х, {t) к площади поданного на его вход импульса х- (t) = = G6 (t)j т. е. W (t) = С~Ж2 (t). При этом размерность W (t) соответствует размерности передаточной функции звена, деленной на время. Импульсная функция также представляет собой распространенный вид входного воздействия в автоматических системах. К такому виду можно свести, например, кратковременный удар нагрузки на валу двигателя, кратковременный ток короткого замыкания генератора, отключаемый плавкими предохранителями, и т. п. Б действительности реальные импульсные воздействия на автоматическую систему всегда будут конечньми по величине и продолжительности. Однако в случае, если их продолжительность весьма мала по сравнению с временем переходного процесса звена или автоматической системы, то с большой степенью точности реальный импульс может быть заменён дельта-функцией с некоторым масштабирующим коэффициентом, что позволяет оценить переходный процесс по виду функции веса.

Функция веса звена связана с его передаточной функцией преобразованием Лапласа, а именно: передаточная функция есть изображение функции веса и связана с ней интегральным преобразованием

PF(p)= J io{t)e-PUt.

(4.6)

. В свою очередь переходная функция звена связана с его передаточной функцией преобразованием Карсона, т. е. имеет место интегральное преобразование

{p) = ph{t)e-*dt.

(4.7)

Для входного воздействия произвольного типа, прикладываемого в момент f = О, переходный процесс на выходе звена при нулевых начальных условиях может быть определен на основании интеграла Дюамеля - Карсона