Главная ->  Логарифмическое определение устойчивости 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 [ 187 ] 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254

Следовательно, после подстановки р = ](и получим X=kikg (а)- [Т-ТТоЩ {а) + ТоЯ (а) + kjtjq (а)] О,

1 ~ Toq (а) со -f kikeg (а) - kik

q(a)

со -

q (с)

0)3 = 0.

Для исследования влияния параметра к на собственные колебания данной системы выразим величину к из каждого уравнения по отдельности:

4{а) кл{а) -

kxq (а) J ftjg (a)

(18.97)

L g (a) /c5 (a) J

-(-rA)co-ico3. (18.98)

Задаваясь разными значениями a = a, для каждого из них по eithm уравнениям строим две кривые к (со) (рис. 18.19, б). Точка их пересечения


дает соответствующие значения Юц и Л. В результате можно построить графики (рис. 18.19, е и г) зависимостей амплитуды и частоты сод периодического решения от параметра к (каждое построение на рис. 18.19, б дает по одной точке на каждом из графиков рис. 18.19, е и г).

При й = оо, как видно из рис. 18.19, а, имеем д (а) = д (а) = 1 и Яг (а) = 0. Поэтому из выражений X (юп) = О и У (сОд) = О находим:

Ы2 1 + Мв. ГР--у-у-

кгр -

(1 + fctfce) (ГоЧ-Гв+ГвМб)

причем вдоль кривой на рис. 18.19, в частота сОп изменяется в интервале

О < СОп < (Сйп)гр-

Пример 5. Пусть имеется релейная система регулирования температуры (рис. 1.35), описываемая согласно § 16.1 уравнениями (с дополнитель-ньш учетом постоянной времени привода Тд):

(Tip + 1) е = - х = кВ, (Тдр + 1) pip = ksU, U = F (х).



где X - ток В диагонали моста (управляющей обмотке реле), а F {х) - характеристика реле, изображенная на рис. 18.20, а. В следующем примере произведем также учет не гистерезисного, а временного запаздывания реле.

Рис. 18.20.

Гармоническая линеаризация характеристики реле рис. 18.20, а согласно формулам (18.9) и (18.15) дает

(18.99)

На основании написанных уравнений получаем следующее характеристическое уравнение данной замкнутой системы:

{Tip+ 1) (Тдр + 1)р + кк [д (а) - р

= 0,

к - ккд.

Отсюда после подстановки р = усо получаем выражения:

X=hkg{a)~{Ti + rs)a=0, Y =

ikg{a)~{Ti + rs)ti)=0, . 1 - kik -] (0 - 130)3 = 0.1

(18.100)

Исследуем влияние параметра к на устойчивость и автоколебания данной системы.

Из (18.100) имеем

9( п) (7i + 3s)con

откуда после подстановки (18.99) находим

(18.101)

(18.102)

Тогда из второго уравнения (18.100) с учетом (18.99) получаем

я(1-Г1Гзсо)соп



\ да )п~ аУБ V 2 j / дХ \ >0 при а<:ЬУ2, [ да }n\Q jjpjj а>ЬУ2,

eajn- isM/непо-

следовательно, нижняя ветвь кривой на рис. 18.21, а соответствует неустойчивому периодическому решению, а верхняя - устойчивому (автоколебания).

Пусть в другом частном случае характеристика реле имеет идеальный вид (рис. 18.20, в), т.е. = = Ъ = 0. Здесь получается прежнее постоянное значение (18.106) и согласно (18.107) - прямолинейная зависимость

На основании формул (18.102) и (18.103) можно построить графики для амплитуды в зависимости от параметра к по точкам, соответствующим различным значениям частоты как это делалось в предыдущих примерах. При этом, исходя из положительности к, согласно (18.103) нужно задавать значения соц в интервале

0<cuS<y. (18.104)

Рассмотрим частные случаи.

Пусть реле имеет характеристику вида рис. 18.20, б, где = = Ъ. Для этого случая из (18.99) получаем:

?=1&-V = 0. (18.105)

Поэтому второе из уравнений (18.100) дает постоянное значение частоты периодического решения

<:=- (18.106)

Подставляя его в первое уравнение (18.100), с учетом (18.105) находим

n(Ti+Ts] (6<Сп<оо). (18.107)

Здесь к = оо в двух случаях: = b ж = оо. Найдем kiin из условия равенства нулю производной к ио а.

-n = 4g (18.108)

при = b У2.

Соответствующий график зависимости амплитуды от параметра к изображен на рис. 18.21, а. В этом частном случае релейной характеристики (рис. 18.20, 6) для исследования устойчивости воспользуемся критерием (18.63), для которого предварительно находим:



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 [ 187 ] 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254