Uj{t)-

Зу (t, г SY {р, aj) -1 daj ~ L 8aj J~

= L-iG{p)] = L-HSj{p)G{p)]. (8.104)

Здесь введена функция чувствительности передаточной функции

г дФ (р, aj)

которая определяет первое приближение дополнительной передаточной функции, равной разности варьируемой и исходной передаточных функций при вариации параметра aji

ДФ, (р, aj) = Ф (р, ау)-!- Ф (р,/;ау) = Sj (р) Да,. (8.106)

Эти зависимости справедливы в том случае, когда вариация параметра aj не меняет порядка характеристического уравнения системы.

Может также использоваться так назьшаемая логарифмическая функция чувствительности

дФ (р, а,-) , да] дЫФ (р, а;) а,-

И =-ф( dlnaj -WiSj iP)- (8-107)

Формула (8.107), строго говоря, может использоваться в тех случаях, когда Ф (р, aj) и а,- представляют собой безразмерные величины. Если эти величины размерны, то их логарифмирование возможно, если использовать прием, указанный в § 4.4.

Найдем дополнительную передаточную функцию для случая, когда исходная передаточная функция может быть представлена в виде отношения

где Cjfe и biq - постоянные коэффициенты, Xi - фазовые координаты, э fq [t] - внешние воздействия. Начальные условия в системе: при t = О Xi = x\(i = \, . . ., п). Уравнения чувствительности получаются из (8.101) дифференцированием по варьируемому параметру а-, от которого могут зависеть коэффициенты а и biq.

и п I

2 irUkj+ 2 2 it) (i= 1, 2, ..., n), (8.102)

fe=l ft=l q=i

где Cfft = и dig - --частные производные от коэффициентов

системы уравнений (8.101) по варьируемому параметру aj. Уравнениям (8.102) соответствуют начальные условия ?J = 5(= 1 п). Если

начальные условия х\ не зависят от параметра а-, то уравнениям (8.102) соответствуют нулевые начальные условия.

Для решения (8.102) необходимо предварительно решить совокупность уравнений (8.101) и определить исходное движение Xi {t) (i = 1, . . ., тг).

Для нахождения функций чувствительности и дополнительного движения удобно использовать передаточные функции системы. Пусть, например, регулируемая величина у {t, aj) связана с задаюп1,им воздействием зависимостью

у {t, aj) = L-i [Y {p, aj)] = (Ф {p, aj) G (p)], (8.103)

где G {p) - изображение задаюп1,его воздействия.

Функция чувствительности может быть получена из (8.103) дифференцированием по параметру а ,-:

двух полиномов: АФ,-(р) = 5Ир)Ааг

8Ф (Р. аз) 8aj

8 R (P. ttj)

Aaj =

daj D{p,aj)

m{p)-0{p,aj)lAD(p)],

-Ф1Р)

-l/lt)

B(p)

£) (p - IH (8.108)

где AR (p) и AD (p) - вариации полиномов числителя и знаменателя передаточной функции.

Формула (8.108) позволяет составить структурную схему модели чувствительности в виде, изображенном на рис. 8.32. Эта схема может быть

использована для нахождения функции дополнительного движения Ау (t) или функции чувствительности u{t)=Ay{t): Да/, расчетным путем или моделированием на ЭВМ.

Составим, например, модель чувствительности для передаточной функции замкнутой системы

при вариации параметра т. В соответствии с изложенным находим AR (р) = = AD (р) - Кр Дт. Равенство приращений числителя и знаменателя Ф (р> позволяет упростить схему модели. Она изображена на рис. 8.33, а в исходном, а на рис. 8.33, б - в преобразованном виде.

В общем случае, когда передаточная функция зависит от ряда варьируемых параметров, дополнительная передаточная функция

Рис. 8.32.

ДФ (р, tti ..., а )

то 3=1

дФ(р, ai, .... а, ) -0 8aj

Aaj==S){p)Aaj. (8.110>

Если к системе приложено несколько внешних воздействий [g (t), fi(t), . . ., fi {t)], to следует найти дополнительные передаточные функции для всех исходных передаточных

функций, определенных для каждого внешнего воздействия.

Функции чувствительности критериев качества. Если в системе произошли изменения ряда параметров Aaj (/ = 1, . . ., m), то результирующее изменение некоторой используемой оценки качества

Д/ = Т-/, (8.111)

g(i)

КрКг

К+Ктр+р

Рис. 8.33.

где 7 - варьированное значение оценки качества, а I - ее исходное значение, можно подсчитать по формуле полного дифференциала

2 UjAaj.

(8.112)

Так как в большинстве случаев известны только вероятностные оценки вариаций Дау, то целесообразно использование вероятностных методов. Так, если известны максимальные возможные отклонения Даунах) то при их независимости друг от друга можно найти среднеквадратичный максимум

A/max=/.g(tiAaMax) (8.113)

и среднеквадратичный относительный максимум

Атах = -. (8.114)

Если заданы дисперсии отклонений параметров Dj = М [(Да,)] и отклонения независимы, то можно найти дисперсию оценки качества

= S U]Dj. (8.115)

В качестве критериев оценки качества системы могут использоваться, например, максимум ошибки, коэффициенты ошибок, оценки запаса устойчивости и быстродействия, интегральные оценки и т. п.

Пример. Пусть передаточная функция разомкнутой системы имеет

Требуется определить среднеквадратичный максимум отклонения показателя колебательности, если К = 100 ± Ю сек~ ж Т = 0,03 ± 0,01 сек, причем изменения параметров независимы.

Определим вначале исходное значение показателя колебательности. Для этого необходимо найти максимум модуля частотной передаточной функции замкнутой системы

W(jm)

\ + W(ja>) max \К+]т + Т{ЩЦ

Исследование на максимум дает: при КТ sC 2 показатель колебательности М = 1, при КТ > 2 показатель колебательности

2КТ 2-100-0,03

У4Я7 -1 1/4-100-0,03-1

Функции чувствительности, если = К ж = Т,

i=-w) = --W- =0,005 сек,

t/2=(-l = --= lb,7 сек*.

Среднеквадратичный максимум отклонения (8.113)

ДМтах = V (0,005-10)2 (16,7 0,01)2 0,175. .

Таким образом, в рассматриваемой системе показатель колебательности М= 1,8 ±0,175.

OTMOHenHHouieHKn качества