оком масштабе, т. е. наносятся отметки, соответствующие Ig ю, а около отметок пишется само знадение частоты со в рад/сек. Для этой цели может использоваться специальная полулогарифмическая бумага. Однако удобнее использовать обьганую миллиметровую бумагу, но масштаб по оси абсцттгс наносить при помощи какой-либо шкалы счетной логарифмической линейки.

По оси ординат откладывается модуль в децибелах (96). Для этой цели на ней наносится равномерный масштаб. Ось абсцисс должна проходить через точку О дб, что соответствует значению модуля А (со) = 1, так как логарифм единицы равен нулю.

Ось ординат может пересекать ось абсцисс (ось частот) в произвольном месте. Следует учесть, что точка ю = О лежит на оси частот слева в бесконечности, так как Ig О = -оо. Поэтому ось ординат проводят так, чтобы справа от нее можно было показать весь ход л. а. х. Как будет показано

ниже, для этой цели необходимо .

о Углобая частота провести ось ординат левее самой -тт-i i i i mi-i i 111 mi-i i ......i

малой сопрягающей частоты Л. a. X. Деподы 1000/сек

Для построения л. ф. х. исполь- j У

зуется та же ось абсцисс (ось час- ч mi..ii иi nffiPiW, m 11111 п чm i -logfii tot). По оси ординат откладывается 01 2356789 Ю фаза в градусах в линейном масштабе. Для практических расчетов, как Рис. 4.11. это будет ясно ниже, удобно совместить точку нуля децибел с точкой, где фаза равна-180°. Отрицательный сдвиг по фазе откладывается по оси ординат вверх, а положительный - вниз.

Иногда по оси абсцисс указывается не сама частота, а ее десятичный логарифм (рис. 4.11). Единица приращения логарифма соответствует одной декаде, т. е. удесятерению частоты. Применяется также деление шкалы на октавы. Одна октава соответствует удвоению частоты. Так как Ig 2 = = 0,303, то одна октава соответствует 0,303 декады. Использование на оси абсцисс декад и октав значительно менее удобно, так как при этом оцифровка шкалы получается не в единицах частоты, а в едшицах логарифма частоты, что в сильной степени снижает преимущества применения логарифмических частотных характеристик.

Главным достоинством логарифмических амплитудных частотных характеристик является возможность построения их во многих случаях практически без вычислительной работы. Это особенно проявляется в тех случаях, когда частотная передаточная функция может быть представлена в виде произведения сомножителей. Тогда результирующая л. а. х. может быть найдена суммированием ординат л. а. х., соответствующих отдельным сомножителям. Часто не требуется даже такого суммирования и результирующая л. а. X. может быть приближенно построена в виде так называемой асимптотической л. а. X., представляющей собой совокупность отрезков прямых линий с наклонами, кратными величине 20 дб1дек. Это будет показано ниже при рассмотрении конкретных звеньев.

Для иллюстрации простоты построения л. а. х. рассмотрим несколько важных примеров.

1. Пусть модуль частотной передаточной функции равен постоянному числу А (со) = /Cf,; тогда

L (ш) == 20 Ig Л (ш) = 20 Ig к.

Л. а. X. представляет собой прямую, параллельную оси абсцисс (прямая 1 на рис. 4.10).

2. Рассмотрим случай, когда А (со) = -. Тогда

L(cu) = 20 lg- = 20 lgfei-20 Ig©.

Нетрудно видеть, что это - прямая линия, проходящая через точку с координатами ю = 1 сек~* и L (ю) = 20 Ig и имеющая отрицательный наклон 20 дб/дек, так как каждое удесятерение частоты вызовет увеличение Ig со на одну единицу, т. е. уменьшение L (со) на 20 дб (прямая 2 на рис. 4.10). Наклон 20 дб/дек приблизительно равен наклону 6 дб/окт (точнее, 6,06 дб/окт, так как Ig 2 = 0,303).

Точку пересечения прямой с осью нуля децибел (осью частот) можно найти, положив L (со) = О или, соответственно, А (со) = 1. Отсюда получаем так называемую частоту среза л. а. х., равную в данном случае сорр = к. Очевидно, что размерность коэффициента к должна быть [секЧ.

3. Аналогичным образом можно показать, что в случае А

л. а. X. представляет собой прямую с отрицательным наклоном 40 дб/дек

Вообще

Запас по фазе D 20° 40 60° 80° 1л(со)

(прямая 3 на рис. 4.10).

А (со) = л. а. X, представляет собой

прямую с отрицательным наклоном п -20 дб/дек или п -6 дб/окт. Эта прямая может быть построена по одной какой-либо точке, например по точке со = = 1 сек~ и L (со) = 20 Ig кп или по частоте среза соср = /<; . Очевидно, что размерность коэффициента к должна быть [сек~].

4. Рассмотримслучай, когдаЛ (а)) = == fegco. Тогда

L (со) = 20 Ig ftgco = 20 Ig к, + 20 Ig со.

-/60° -т° 420° -Ю(Гф(а>) ФазоВый сдВиг

Рис. 4.12.

Нетрудно видеть, что это - прямая линия, проходящая через точку со = 1 сек~ и L (со) = 20 Ig и имеющая положительный наклон 20 дб/дек. Эта прямая может быть построена так-

же по частоте среза сор = -, полученной приравниванием А (со) = 1 (прямая 4 на рис. 4.10).

Аналогичным образом можно показать, что в случае, когда А (ю) = X. представляет собой прямую линию с положительным наклоном т -20 дб/дек = т-6 дб/окт. Эта прямая также может быть построена по одной какой-либо точке, например по точке со = 1 сек- и L (со) = 20 Ig /с

или по частоте среза С0(,р =

= ktnco , л. а.

Иногда при расчете автоматических систем употребляются логарифмические амплитудно-фазовые характеристики (л. а. ф. х.). В соответствии с выражением (4.18) они строятся в координатах модуль в децибелах - фаза (рис. 4.12) или модуль в децибелах - запас по фазе . Под запасом по фазе понимается величина

= 180° + xln (4.20)

Эта величина та же показана на рис. 4.12. Обычно пределы изменения фазы принимаются от О до -180°, что соответствует изменению запаса по фазе от 180° до 0. В том случае, если часть кривой не умещается на используемой сетке вследствие больших фазовых сдвигов (I ij) > 180), строится зеркальное изображение л. а. ф. х., что показано на рис. 4.12 пунктиром.

На л. а. ф. X. для ориентировки могут наноситься точки, соответствую-щае определенным частотам. В этом случае около этих точек указывается частота в рад/сек.

§ 4.5. Позиционные звенья

Характеристики позиционных звеньев сведены в табл. 4.2 и 4.3, помещенные на стр. 7881.

1. Безынерционное звено. Это звено не только в статике, но и в динамике описывается алх-ебраическим уравнением

= kxi. (4.21)

Передаточная функция звена равна постоянной величине:

W (р) --= W (/со) = к. (4.22)

Примером такого звена являются механический редуктор (без учета явления скручивания и люфта), безынерционной (широкополосный) усилитель, делитель напряжения и т. п. Многие датчики сигналов, как, например, петенцнометрические датчики, индукционные датчики, вращающиеся трансформаторы ИТ. п., также могут рассматриваться как безынерционные звенья.

Переходная функция такого звена представляет собой ступенчатую функцию (табл. 4.2), т. е. при х (t) = i{t) x{t) =h (t) = кЛ (t). Функция веса представляет собой импульсную функцию, площадь которой равна к, т. е. при x{t) = д (t) х (f) = w(t) = кЬ (t).

А. ф. X. вырождается в точку, расположенную на вещественной оси на расстоянии к от начала координат (табл. 4.3). Модуль частотной передаточной функции А (ю) = к постоянен на всех частотах, а фазовые сдвиги равны нулю (ijj = 0).

Безынерционное звено является некоторой идеализацией реальных звеньев. В действительности ни одно звено не в состоянии равномерно пропускать все частоты от О до оо. Обычно к такому виду звена сводится одно из реальных звеньев, рассматриваемых ниже, например апериодическое или колебательное, если можно пренебречь влиянием динамических (переходных) процессов в этом звене.

2. Апериодическое звено первого порядка. Звено описывается дифференциальным уравнением

Т + х, = кх,. (4.23)

Передаточная функция звена

Примеры апериодических звеньев первого порядка изображены на рис. 4.13.

В качестве первого примера (рис. 4.13, а) рассматривается двигатель любого типа (электрический, гидравлический, пневматический и т. д.), механические характеристики которого (зависимость вращающего момента от скорости) могут быть представлены в виде параллельных прямых (рис. 4.14). Входной величиной х здесь является управляющее воздействие в двигателе, например подводимое напряжение в электрическом двигателе.