построения кривой переходного процесса ограничивается случаем сравнительно невысокого порядка дифференциального уравнения, обычно не выше третьего.

Расчеты получаются более простыми в том случае, когда правая часть (7.4) равна нулю, т. е. имеется однородное дифференциальное уравнение. Тогда частное решение равно нулю и полное решение (7.5) приобретает более простой вид:

(7.6)

В этом случае переходный процесс определяется только видом корней и начальными условиями. В табл. 7.1 для этого случая приведены формулы

Таблица 7.1

Вещественные корня

Комплексные корня

хАе- + Ае- ахр + хо * 2 - 1

aiXQ-j-xg

х = (В cos Xt+Csin Xt) е- В = хо

--1-

хАе-°-+А2е-+А-°- схгИзо+( 2+ з) xf+xi

з = -

( 2 -ai) ( 3-ai) aiasXQ+iai + аз) хр -j- х ( 1- аХиз - г)

( 1-Из) ( 2-аз)

x = Ae- i*+(BcosXt + CsinXt) е~*

(Y-ai)2-f-A2 Ki (Ki - 2) xq + 2ухо-xj

1 (X,2--v4-V i) ,

для получающегося переходного процесса при различных степенях дифференциального уравнения п (от 1 до 3) и корнях различного вида. В таблице приняты следующие обозначения:

ttj, 2, Оз - абсолютные значения вещественных некратных корней; у и абсолютные значения вещественной и мнимой частей комплексного корня; хо - начальное значение исследуемой координаты; х - начальное значение скорости изменения исследуемой координаты; чение ускорения.

х - нача.т1ьное зна-

§ 7.3. Сведение неоднородного уравнения к однородному

Для типового входного воздействия вида единичной ступенчатой функции решение неоднородного уравнения (7.4) может быть сведено к решению уравнения без правой части переходом к другой переменной. Примем, что / (if) = 1 (f), причем единица имеет размерность переменной, стоящей в пра-

ВОЙ части (7.4). Тогда установившееся значение переменной х при <х> можно найти из- (7.4), положив все производные равными нулю:

а;(оо) = а;ует=--1. (7.7)

Это установившееся значение представляет собой частное или вынужденное решение неоднородного уравнения (7.4), т. е. х, (t) = Xyci-Введем новую переменную

Z{t) = x (f) - Жв (О = x{t) - Хуст. (7.8)

Решение неоднородного уравнения (7.4) для z (t) может быть записано в виде

z{t)=x (t) - хуст = Ciei* + CePt + + СУп\ (7.9)

что подобно решению типа (7.6). Этому решению соответствует исходное дифференциальное уравнение без правой части

ao~+ai-+ ...+anz = 0. (7.10)

Из уравнения- (7.8) нетрудно определить связь между начальными условиями для исходной переменной х и новой переменной z при t = 0:

0---О Хусч-, Zp---tj, . . . , .g -.tg

После нахождения решения для переменной z по формуле (7.8) можно легко вернуться к исходной переменной х смеш;ением решения на величину Жует.

Однако эти рассуждения пока справедливы для случая, когда степень операторного многочлена в правой части (7.4) равна нулю (т = 0) и дифференциальное уравнение (7.4) имеет вид

D (р) X (t) = 6/ (t).

Это происходит потому, что, вообще говоря, необходимо различать начальные условия, которые существовали в системе до приложения возмущения, т. е. при времении t = -О, и непосредственно сразу после его приложения, т. е. при времени Z = + 0. Остановимся на этом вопросе более подробно в случае приложения возмущения типа ступенчатой функции.

Для простоты расчетов для времени t = - О почти всегда принимают нулевые начальные условия, т. е. х о = О, xLq = О, xLo = О и т. д. В дальнейшем под нулевыми начальными условиями будем понимать именно эти равенства. .

Начальные условия, которые будут иметь место непосредственно после приложения ступенчатой функции, т. е. при / = -- О (обозначим их х+р, ж+о, а;+о й т. д.), можно определить из исходного дифференциального уравнения (7.4). Не останавливаясь на доказательстве, приведем конечные результаты. Для первых п - т начальных условий имеют место равенства

(7.11)

(n-m-i) m-m-l)

+0 -о

Таким образом, для самой координаты и первых (п - m - 1) производных нулевые начальные условия сохраняются и после приложения ступенчатой функции.

Для остальных начальных условий выполняются соотношения

[ж+о -а; о J,

Jn-m+2) <п-т + 2) , л 2 r (n-m) m-m),

Ж+о -а; о Г-- !---[Х+о -Хо J -

О 0

[Ж+о -Хо J,

- 1+0 -Ж-0 J-

(7.12)

Эти формулы показывают, что только при m = О, т. е. для дифференциального уравнения D (р) х (t) = byj (О при скачке / {t), начальные условия при f = + О соответствуют начальным условиям при t = - 0. В формулах (7.12) множитель 1 имеет размерность величины / {t). Если воздействие прикладывается в виде скачка, не равного единице, то вместо 1 следует поставить величину скачка.

Пример, Найдем реакцию системы на единичную ступенчатую функцию при нулевых начальных условиях, т. е. переходную функцию, если дифференциальное уравнение имеет вид

(0,05р2 -Ь ОЛр + i)x it) = (0,5р + 1) / it).

Для простоты примем, что переменная х явлхяется безразмерной величиной. Решая характеристическое уравнение 0,05р -f- 0,4р -f 1 = О, находим корни:

Л,2 = - V ± Д = - 4 + /2.

Согласно заданным условиям а; о = О и xLq = 0. Так как в данном случае п = 2ит = 1, то начальные условия для f = + О, в соответствии с (7.11) и (7.12), будут

а;+о=а; о-=0, ж+о = ж о + --1 =0-Ь= 10 сек *.

Определяем установившееся значение искомой координаты:

г -.4-1

п

Введем новую переменную z (t) - х (t) - I. Начальные условия для новой переменной:

Z+0 = х+о - Жует = О - 1 = - 1, z+o = ж+о = 10 сек~.

На основании табл. 7.1 для и = 2 и случая комплексных корней имеем

Z = {Б cos Kt + С sin U)e-y\

Таким образом

z = (- cos 2t + 3 sin 2t)e~K Возвращаясь к исходной координате, получаем переходную функцию h{t) = x{t) = I + z{t) = I - (cos 2i - 3 sin 2t)e-K