Аналогичным образом можно осуществить переход от неоднородного дифференциального уравнения (7.4) к уравнению без правой части при воздействии типа импульсной функции. В. этом случае установившееся значение Жует = О, так как в случае f (t) = 6 (t) при t- оо будет / (оо) = 0. Поэтому нет нужды вводить новую смещенную величину z (t) и задача заключается только в отыскании начальных условий при t = -\- 0.

Так как единичная импульсная функция является производной от единичного скачка б (/) = 1 (t), то формулы пересчета начальных условий можно получить из (7.11) и (7.12), если заменить в них т на m 1 и положить Ът+1 = 0. Тогда вместо (7.11) для первых п - т - 2 начальных условий получим

XQ - X-Q ,

х+о = х-о.

(п-т-2) (п-т-2) X+(j -Х-О

(7.13)

и вместо (7.12) для всех остальных начальных условий

(П-7П- 1) Jn-m-1) , Ьо л

ж+о -а; о ---- !, Со

(п-т) (п~т) , . aj (n-m-1) (n-m-l),

xo -a; o --[x+o - xo i,

(n-m+l) (Ji-m + l) . bz л 2 r, (n-m-l) (я-m-l),

Ж + 0 -Xo --У- + о -x o J -

---[+0 --0 J.

x+Q -a; o

(7.14)

В формулах (7.14) единица имеет размерность импульса величины / (), т.е. размерность / (if), умноженную на время. Если воздействие поступает в виде неединичного импульса, то в эти формулы вместо единицы необходимо подставить заданную величину импульса.

Как видно из (7.14), при воздействии в виде импуйьса, в отличие от скачка, даже для дифференциального уравнения вида D (р) х (t) = bj (t) не будет равенства начальных условий для Z=-{-OhZ = - О, так как будет скачок в значении {п-1)-й производной. Скачок же первой производной х, т. е. перелом кривой, будет уже при т = п - 2, а скачок самой величины X - при т = п - 1.

Пример. Найдем реакцию системы на единичный импульс при нулевых начальных условиях, т. е. функцию веса для дифференциального уравнения, приведенного в предыдущем примере (стр. 174).

Так как в рассматриваемом примере т = п - 1, то в соответствии с (7.14) получим

Х+о = Хо +

1 = 0 + 5=10

xVo = ж -Ь-l-.l -11- [ж+о-ж о] = О + 1 -10 = -60 сек-.

В соответствии с табл. 7.1 для ?г = 2 и комплексных корней X = {В cos 2t + С sin 2t) е **,

Таким образом, периодическая функция времени может быть представлена в виде совокупности дискретных гармоник с интервалом по частоте между соседними гармониками, равным основной частоте со.

Непериодическая функция времени может рассматриваться как периодическая с периодом, стремящимся к бесконечности. В этом случае вместо приведенных формул получаются два интегральных уравнения Фурье, связывающих оригинал, т. е. функцию времени i {t), и ее частотное изображение F (/со), которое называется также преобразованием Фурье:

+ 00

J f{t)e-it, (7.15)

- оо + 00

f{t) = - J F(y )eJ *d(o. (7.16)

- оо

В отличие от разложения в ряд Фурье здесь получается разложение в непрерывный спектр частот с интервалом по частоте между соседними гармониками, равным бесконечно малой - величине dco.

Недостатком интеграла Фурье является то, что он принадлежит к числу несобственных интегралов и может применяться для так называемых абсолютно интегрируемых функций времени, т. е. для функций времени, удовлетворяющих неравенству

+ О0

( \f{t)\dt<oo.

Б = ж,о=10 сек-\ c = -2±o+<o. i:l

Окончательно получаем функцию веса

w{t) = X (t) = 10 (cos 2t - sin 2t)e-*.

Этот результат можно было получить также непосредственным путем для h (t), полученного в предыдущем примере, так как w (t) = h (t).

§ 7.4. Использование преобразований Фурье, Лапласа и Карсона - Хевисайда

Как известно, периодическая функция времени, подчиняющаяся условиям Дирихле, может быть разложена в ряд Фурье:

/ (<) = Ло -Ь 2 {Аи sin kbat + cos kcat), fe=i

, 2я где к-порядок гармоники, а со = -у--основная круговая частота.

Этот ряд может быть представлен также в комплексной форме:

f{t)= S CueSt,

fe=-oo

где комплексный коэффициент С] определяется выражением

Ht)e-dt, , (7.17)

о . V

причем функция времени должна быть равна нулю (/(Z)=0) при t<zO. В отличие от преобразования Фурье здесь изображение функции времени является функцией не частоты, а некоторой комплексной величины s = = с + ;&). Вещественная часть ее представляет собой так называемую абсциссу абсолютной сходимости, которая выбирается так, чтобы удовлетворялось неравенство

Для большинства функций, с которыми приходится иметь дело в регулировании, абсцисса абсолютной сходимости равна нулю, т. е. с = 0. Поэтому для этих функций преобразование Лапласа переходит в преобразование Фурье, если произвести подстановку s = /со.

Уравнения (7.17) и (7.18) часто записывают в сокращенном виде:

F{s) = L[f{t% Uf(t) = LHF{s)]. 47.19)

Иногда вместо буквы s применяется буква р, т. е. изображение Лапласа записывается в виде F (р),нов этом случае р представляет собой не оператор дифференцирования, а комплексную величину: р = с + jo) i).

В связке этим формулы (7.19) и (7.20) могут быть записаны виде

F{p) = Llf{t)], f{t)=L-[Fl{p)]. (7.20)

В некоторых случаях, особенно в задачах электротехники, используется преобразование Карсона - Хевисайда, которое отличается от преобразования Лапласа дополнительным умножением на величину р:

ф(р) = Р$Ше-йг, (7.21)

C+joo

/<>-Sr J 17.22)

e-joo

Таким образом, между преобразованиями Лапласа [и Карсона Хевисайда существует соотношение

Ф (Р) = pF (р). (7.23)

Преобразование Карсона - Хевисайда нашло распространение наряду с преобразованием Лапласа. Это объясняется тем, что исторически первым для решения дифференциальных уравнений был использован так называемый

1) В дальнейшем изложении при использовании изображении функции времени комплексная величина будет обозначаться буквой р. Однако при этом необходимо не

путать эту величину с оператором дифференцирования р = ~ ,Г котоуый применяется

при испельзовании функции времени (оригиналов).

12 в. А. Бесекерский, Е. П. Попов

От ЭТОГО недостатка свободно преобразование Лапласа, связывающее оригинал и изображение следующими интегральными уравнениями: