Задача управления заключается в переводе системы из начального состояния Xl = ai (i = I, . . ., п) при f = О в конечное = О при оо. Из формулировки задачи следует, что система должна быть при этом асимптотически устойчива.

В рассматриваемом случае уравнение Беллмана (12.172) имеет вид

+ 3-(2 iii + Ci) + 2 bjxl + au]=:0. (12.177)

Оказывается, что функция ф, входящая в (12.177), является функцией Ляпунова, а функция V в функционале (12.176) - ее полной производной, т. е.

чем решается вопрос об устойчивости синтезируемой системы (см. ниже § 17.2).

Так как на управление и ограничения не накладываются и а > О, то минимум в (12.177)] достигается в точке, где обращается в нуль производная по и, т. е. при

Подставим это значение в (12.177). В результате имеем

(12.178)

(12.179)

Это - нелинейное уравнение в частных производных относительно функции ф. Будем искать решение этого уравнения в виде квадратичной формы от фазовых координат:

п п

ф = 2 2 ykrXkXr = хГх.

Jt=l г=1

(12.180)

Здесь Г = II Yfer llnxn - квадратная матрица коэффициентов, удовлетворяющая критерию Сильвестра

>о,

(12.181)

причем матрица может быть принята симметричной, т. е. уг = Угп- Функция (12.180) удовлетворяет граничному условию, так как при Xj = О (г = = 1, . . ., п) имеем ф = 0.

Дифференцируя (12.180), имеем

Подставляя] полученные выражения в (12.179), приходим к уравнению

вида

п п п

S 2 2 2 (2 2 Tft.) =0. (12.182)

г=1 ft=l

в левой части (12.182) находится квадратичная форма переменных . . ., Хп. Она будет тождественно равна нулю при равенстве нулю всех ее коэффициентов:

71 71 7Ь

2 2 м-т.+Ьт.-(2 Ti)=o

(/, &= 1, ..., тг).

(12.183)

В результате получена система из 0,5тг (тг + 1) алгебраических уравнений, содержагцих такое же количество неизвестных (при учете равенства коэффициентов = yj).

После нахождения] неизвестных коэффициентов у из (12.178) можно определить оптимальное управление

= 4 = 2 Т- (12.184)

fe=l

Аналогичный результат может быть получен при использовании классических методов вариационного исчисления (§ 12.8). i.

Решение обратной задачи. В полученных формулах для оптимального управления конструктору необходимо формировать управление в функции всех фазовых координат, так как в (12.184) все коэффициенты фО..

Если конструктор может использовать ограниченное число фазовых координат, то часть коэффициентов d в (12.184) должна быть тождественно равна нулю. В этом случае для формирования оптимального управления можно воспользоваться решением обратной задачи и отыскать допустимую форму функционала качества при неполном управлении. Для этого функционал качества (12.176) представим в измененном виде:

оо п

/ = a/i = а ( (2 i4-bif) dt, h = oTbi (i == 1, ..., ). (12.185)

0 i=l

Минимизация функционала вместо / не меняет задачи.

Будем считать отличные от нуля коэффициенты di известными числами, а коэффициенты Zj - неизвестными. Тогда совокупность уравнений (12.183) может быть представлена в виде

S {Уто-и + yijO-ik) = djdk (/ ф к).

2 2 Ушат-\г1ц = к (j =к)

(/, &=1, п).

(12.186)

Эта система содержит 0,5тг {п -\~ 1) неизвестных коэффициентов уь неизвестных коэффициентов функционала I. Добавляя к уравнениям (12.186) тг уравнений из (12.184)

S Ciyiu = dk, i=i

(12.187)

получим систему уравнений, которая в принципе может быть разрешена относительно искомых неизвестных. Если система уравнений (12.186) и (12.187) имеет решение, при котором коэффициенты удовлетворяют критерию Сильвестра (12.181), а коэффициенты функционала > О, то задача аналитического конструирования при заданном неполном управлении имеет смысл.

Так как коэффициенты функционала получаются в виде = 1, {d, . . . . . ., dn),io найденный ответ дает и решение прямой задачи. Варьируя коэффициенты управления d в пределах, допускаемых условиями Сильвестра и условиями О, можно выбрать подходящий критерий качества и оптимальное управление.

Методика обратного решения аналитического конструирования может оказаться полезной и при возможности использования полного управления (в функции всех фазовых координат). Это объясняется тем, что система уравнений (12.186) и (12.187) оказьшается линейной относительно коэффициентов Yife и Zfe и решается проще, чем система уравнений (12.183), которая нелинейна относительно искомых коэффициентов уь-

Векторное управление. В работах В. И. Зубова [46] рассматривается более общая задача, когда дан нестационарный объект, описываемый матричным уравнением

х = А (t) X + С (t) и, (12.188)

где А (t) и С (t) - квадратные матрицы коэффгщиентов пХп, ахжи - матрицы-столбцы фазовых координат и управлений. Вводится квадратичный функционал вида

: I=j (xBx+uEu)dt, (12.189)

где Б = II Wnxn и Е = \\ ец, хп - заданные квадратные матрицы, а хВх и . иЕй - положительно определенные квадратичные формы. Решение задачи сводится к линейному управлению вида

м = -Dx = -Е--С--Тх. (12.190)

Матрица Г определяется решением нелинейного матричного уравнения

t АТ + ТА + ГСЕ-СТ - В. (12.191)

Для стационарных объектов матрицы Л и С не зависят от времени ,и уравнение (12.191) принимает вид

АТ + ГА + ГСЕ-СТ - В = 0. (12.192)

В больппинстве случаев результаты, полученные при аналитическом конструировании регуляторов, не могут быть реализованы точно вследствие необходимости использовать для управления все фазовые координаты. Поэтому приходится говорить лишь о приближенной реализации полученных условий оптимальности. Другие подходы к проблеме аналитического конструирования регуляторов содержатся в работах [46, 60, 62, 77, 133].