Главная ->  Логарифмическое определение устойчивости 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 [ 163 ] 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254

§ 16.3] СИСТЕМЫ С НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ В ВИДЕ СУХОГО ТРЕНИЯ И ЗАЗОР*

ную ошибку одного знака, что соответствует как бы дополнительной внешней нагрузке М г = с.

Итак, уравнение управляемого объекта, как нелинейного звена системы, согласно (16.48) и (16.49) с учетом (16.50) будет иметь вид

j2p -c2i5p-f-csign/jp = CiiH при рфО

/.р = 0 и Ия>-,

I = const при = о и I ifl I < -

(16.53)

Уравнения всех остальных звеньев данной следягцей системы в совокупности образуют линейную часть системы, единое уравнение которой для свободного движения упрощенно запишем в виде

{Тр + 1) = [{Тр -Ь 1) кр + к] р.

(16.53)

Следящая система с зазором. Предположим теперь, что в той же самой следящей системе нелинейность заключается не в сухом трении, а в наличии зазоров в силовой механической передаче между двигателем и управляемым объектом. Все эти зазоры объединим в один и изобразим его условно в виде


, i Управл.

------ объект

Иелинешое

звено

-fi,

Рис. 16.20,

вялки со свободным ходом ±Ъ. Таким образом, между двигателем и управляемым объектом вклинивается теперь новое нелинейное звено, изображенное на рис. 16.20, а, входную величину которого обозначим р.

Характеристика этого нелинейного звена изображена на рис. 16.20, б. Смысл ее следующий. Если бы не было зазора, то р равнялось бы р и характеристикой была бы прямая под углом 45°, изображенная на рис. 16,20, б штрих-пунктиром. Вследствие зазора при движении в сторону возрастания угла р эта прямая сдвинется вправо на величину Ъ (поводок прижмется к правой стороне вилки). При изменении направления движения сначала поводок будет перемещаться внутри зазора, не двигая вилку (Р = const). На характеристике это соответствует горизонтальному отрезку длиной 2Ъ {АВ, или EF, или KL, или другие в зависимости от фактического значения р в это время). Затем начнет двигаться и вилка, то будет соответствовать прямой ВС, сдвинутой влево от начала координат на величину Ъ.

При равновесии системы поводок и вилка могут занимать любое относительное положение внутри зазора, что вызывает ошибку системы из-за зазора, равную ±Ъ. При движении системы в одну из сторон будет постоянное отставание объекта из-за зазора на величину не считая того отста вания, которое будет еще из-за нагрузки.

Уравнение управляемого объекта, включавшее в себя и двигатель, теперь разобьется на два нелинейных. Первое нелинейное уравнение управляемого объекта с двигателем будет (ограничиваемся учетом одной



(16.54)

постоянной времени)

{ToP + l)pi = hi при р>фО,

{Tip + 1) pi==kii при

(соответственно с поводком, прижатым к вилке, и с поводком, свободно движущимся внутри зазора); меньше на величину Jq/c, где /д - момент инерции управляемого объекта. Кроме этого, надо написать второе уравнение нелинейного звена с зазором, соответствующее характеристике рис. 16.20, б:

P = Pi-fc

P=--Pi + & Р = const

при при при

pPi>0, pPi<0, Pi-P)<

(16.55)

Следовательно, управляемый объект будет иметь остановки при своих колебаниях, соответствующие участкам АВ, CD и т. д. характеристики рис. 16.20, б.

Линейная часть системы остается такой же, как в предыдущем примере, т. е. (16.53).

Система автоматического регулирования давления (учет сухого трения). Рассмотрим систему (рис. 14.7), уравнения которой в линейном виде были

получены в § 14.2. В чувствительном элементе 2 масса незначительно, но зато существенное значение может иметь сухое трение. Поэтому уравнение движения штока мембраны запишем в виде

P-F~F,-Fn = 0, (16.56)

0 \ ,

-с i


где Ft - сила сухого трения, имеющая постоянную величину с, Рис. 16.21. меняющая направление при из-

менении знака скорости ру (рис. 16.21, а) и могущая принимать любые значения во время остановки, т. е.

Ft = с sign ру . при ру Ф о, - cFt4-c при pi/ = 0;

(16.57)

Р - сила давления воздуха камеры на мембрану, F - упругая сила мембраны, Fn - сила пружины.

В результате после перехода к безразмерным относительным отклонениям (14.27) и (14.48) получим вместо (14.47) следующее уравнение чувствительного элемента как нелинейного звена;

Ьsign рг)-1- бг) = - ср при р-х\ф

или рг1 = 0 и (p-f6ri = fc, \ (16.58)

т] = const при (p+6ifi<:fc,

- площадь мембраны, р - номинальное давление в камере.

где Ъ =

Построим характеристику этого нелинейного звепа с сухим трегшем в координатах (-ф, т]). Легко видеть, что первое из уравнений (16.58) соответствует прямым DA и ВС при рг] > О и рг] <; О, а второе уравнение (г] = const) - отрезкам АВ, CD, EF, GH и т. п. на рис. 16.21, б. Из сравнения рис. 16.21, б и рис. 16.20, б видно, что сухое трение в таком нелинейном звене (без массы) эквивалентно зазору, половина которого равна Ь, чего



совершенно нельзя сказать о сухом трении в следящей системе, где учитывалась масса (момент инерции).

Все остальные звенья системы (рис. 14.7) образуют линейную часть, единое уравнение которой при / = О будет

[Т + 1) {Tsp + 1) Ф = М-§ 16.4. Уравнения систем с нелинейнсстями других видов

(16.59)

Рассмотрим несколько примеров составления уравнений автоматических систем с нелинейнсстями других видов, чем в §§ 16.2 и 16.3.

Система автоматического регулирования с нелинейной характеристикой привода регулирующего органа. Привод регулирующего органа, каким бы он ни был (электрический, гидравлический, пневматический), всегда имеет, во-первых, некоторую зону нечувствительности в начале координат (рис. 16.22, а), и, во-вторых, зону насыщения по краям. Кроме того, может


ж)


Рис. 16.22.

иметь место еще и гистерезис (рис. 16.22, г). Эти две криволинейные характеристики могут быть приближенно заменены кусочно-линейными (рис. 16.226,5 или в, е, и). Наконец, существуют приводы с постоянной скоростью (рис. 16.22, ж, з), относящиеся к нелинейным звеньям релейного типа, уже рассмотренным ранее.

Зона нечувствительности выражается в том, что электрический двигатель имеет определенный минимальный ток трогания (i = fc), до достижения которого вал двигателя будет неподвижен (/? = 0). В гидравлическом же двигателе золотник имеет так называемую зону перекрытия (его поршенек немного шире отверстия, им закрываемого), вследствие чего он откроет путь рабочей жидкости в цилиндр-двигателя, только переместившись на некоторую величину S = \. Аналогично и в случае пневматического привода, где роль золотника играет заслонка.

Зона насыщения обнаруживается в том, что при увеличении тока сверх некоторого значения i = скорость перемещения регулирующего органа остается постоянной {рЪ, = с); также и для гидравлического двигателя при S fcg, когда окна золотника полностью открыты.

Термины насыщение и гистерезис применяются здесь в обобщенном смысле для обозначения нелинейностей определенного типа; они не обязательно соответствуют физическим явлениям насыщения и гистерезиса.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 [ 163 ] 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254