§ 16.3] СИСТЕМЫ С НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ В ВИДЕ СУХОГО ТРЕНИЯ И ЗАЗОР*

ную ошибку одного знака, что соответствует как бы дополнительной внешней нагрузке М г = с.

Итак, уравнение управляемого объекта, как нелинейного звена системы, согласно (16.48) и (16.49) с учетом (16.50) будет иметь вид

j2p -c2i5p-f-csign/jp = CiiH при рфО

/.р = 0 и Ия>-,

I = const при = о и I ifl I < -

(16.53)

Уравнения всех остальных звеньев данной следягцей системы в совокупности образуют линейную часть системы, единое уравнение которой для свободного движения упрощенно запишем в виде

{Тр + 1) = [{Тр -Ь 1) кр + к] р.

(16.53)

Следящая система с зазором. Предположим теперь, что в той же самой следящей системе нелинейность заключается не в сухом трении, а в наличии зазоров в силовой механической передаче между двигателем и управляемым объектом. Все эти зазоры объединим в один и изобразим его условно в виде

, i Управл.

------ объект

Иелинешое

звено

-fi,

Рис. 16.20,

вялки со свободным ходом ±Ъ. Таким образом, между двигателем и управляемым объектом вклинивается теперь новое нелинейное звено, изображенное на рис. 16.20, а, входную величину которого обозначим р.

Характеристика этого нелинейного звена изображена на рис. 16.20, б. Смысл ее следующий. Если бы не было зазора, то р равнялось бы р и характеристикой была бы прямая под углом 45°, изображенная на рис. 16,20, б штрих-пунктиром. Вследствие зазора при движении в сторону возрастания угла р эта прямая сдвинется вправо на величину Ъ (поводок прижмется к правой стороне вилки). При изменении направления движения сначала поводок будет перемещаться внутри зазора, не двигая вилку (Р = const). На характеристике это соответствует горизонтальному отрезку длиной 2Ъ {АВ, или EF, или KL, или другие в зависимости от фактического значения р в это время). Затем начнет двигаться и вилка, то будет соответствовать прямой ВС, сдвинутой влево от начала координат на величину Ъ.

При равновесии системы поводок и вилка могут занимать любое относительное положение внутри зазора, что вызывает ошибку системы из-за зазора, равную ±Ъ. При движении системы в одну из сторон будет постоянное отставание объекта из-за зазора на величину не считая того отста вания, которое будет еще из-за нагрузки.

Уравнение управляемого объекта, включавшее в себя и двигатель, теперь разобьется на два нелинейных. Первое нелинейное уравнение управляемого объекта с двигателем будет (ограничиваемся учетом одной

(16.54)

постоянной времени)

{ToP + l)pi = hi при р>фО,

{Tip + 1) pi==kii при

(соответственно с поводком, прижатым к вилке, и с поводком, свободно движущимся внутри зазора); меньше на величину Jq/c, где /д - момент инерции управляемого объекта. Кроме этого, надо написать второе уравнение нелинейного звена с зазором, соответствующее характеристике рис. 16.20, б:

P = Pi-fc

P=--Pi + & Р = const

при при при

pPi>0, pPi<0, Pi-P)<

(16.55)

Следовательно, управляемый объект будет иметь остановки при своих колебаниях, соответствующие участкам АВ, CD и т. д. характеристики рис. 16.20, б.

Линейная часть системы остается такой же, как в предыдущем примере, т. е. (16.53).

Система автоматического регулирования давления (учет сухого трения). Рассмотрим систему (рис. 14.7), уравнения которой в линейном виде были

получены в § 14.2. В чувствительном элементе 2 масса незначительно, но зато существенное значение может иметь сухое трение. Поэтому уравнение движения штока мембраны запишем в виде

P-F~F,-Fn = 0, (16.56)

где Ft - сила сухого трения, имеющая постоянную величину с, Рис. 16.21. меняющая направление при из-

менении знака скорости ру (рис. 16.21, а) и могущая принимать любые значения во время остановки, т. е.

Ft = с sign ру . при ру Ф о, - cFt4-c при pi/ = 0;

(16.57)

Р - сила давления воздуха камеры на мембрану, F - упругая сила мембраны, Fn - сила пружины.

В результате после перехода к безразмерным относительным отклонениям (14.27) и (14.48) получим вместо (14.47) следующее уравнение чувствительного элемента как нелинейного звена;

Ьsign рг)-1- бг) = - ср при р-х\ф

или рг1 = 0 и (p-f6ri = fc, \ (16.58)

т] = const при (p+6ifi<:fc,

- площадь мембраны, р - номинальное давление в камере.

где Ъ =

Построим характеристику этого нелинейного звепа с сухим трегшем в координатах (-ф, т]). Легко видеть, что первое из уравнений (16.58) соответствует прямым DA и ВС при рг] > О и рг] <; О, а второе уравнение (г] = const) - отрезкам АВ, CD, EF, GH и т. п. на рис. 16.21, б. Из сравнения рис. 16.21, б и рис. 16.20, б видно, что сухое трение в таком нелинейном звене (без массы) эквивалентно зазору, половина которого равна Ь, чего

совершенно нельзя сказать о сухом трении в следящей системе, где учитывалась масса (момент инерции).

Все остальные звенья системы (рис. 14.7) образуют линейную часть, единое уравнение которой при / = О будет

[Т + 1) {Tsp + 1) Ф = М-§ 16.4. Уравнения систем с нелинейнсстями других видов

(16.59)

Рассмотрим несколько примеров составления уравнений автоматических систем с нелинейнсстями других видов, чем в §§ 16.2 и 16.3.

Система автоматического регулирования с нелинейной характеристикой привода регулирующего органа. Привод регулирующего органа, каким бы он ни был (электрический, гидравлический, пневматический), всегда имеет, во-первых, некоторую зону нечувствительности в начале координат (рис. 16.22, а), и, во-вторых, зону насыщения по краям. Кроме того, может

Рис. 16.22.

иметь место еще и гистерезис (рис. 16.22, г). Эти две криволинейные характеристики могут быть приближенно заменены кусочно-линейными (рис. 16.226,5 или в, е, и). Наконец, существуют приводы с постоянной скоростью (рис. 16.22, ж, з), относящиеся к нелинейным звеньям релейного типа, уже рассмотренным ранее.

Зона нечувствительности выражается в том, что электрический двигатель имеет определенный минимальный ток трогания (i = fc), до достижения которого вал двигателя будет неподвижен (/? = 0). В гидравлическом же двигателе золотник имеет так называемую зону перекрытия (его поршенек немного шире отверстия, им закрываемого), вследствие чего он откроет путь рабочей жидкости в цилиндр-двигателя, только переместившись на некоторую величину S = \. Аналогично и в случае пневматического привода, где роль золотника играет заслонка.

Зона насыщения обнаруживается в том, что при увеличении тока сверх некоторого значения i = скорость перемещения регулирующего органа остается постоянной {рЪ, = с); также и для гидравлического двигателя при S fcg, когда окна золотника полностью открыты.

Термины насыщение и гистерезис применяются здесь в обобщенном смысле для обозначения нелинейностей определенного типа; они не обязательно соответствуют физическим явлениям насыщения и гистерезиса.