Главная ->  Логарифмическое определение устойчивости 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 [ 22 ] 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254

расход жидкости в гидравлическом двигателе и т. п. Выходной величиной является скорость вращения Q. Дифференциальное уравнение движения при равенстве нулю момента нагрузки может быть представлено в виде

где / - приведенныйк валу двигателя суммарный момент инерции, - коэффициент пропорциональности между управляющим воздействием


№ 1


J2 =const

xj=a

---р

JO.=U,

Рис. 4.13.

и вращающим моментом, = - наклон механической характеристики,

равный отношению пускового момента к скорости холостого хода при некотором значении управляющего воздействия. Это уравнение приводится к виду

ГЛ Й , г. 7

и = kxi.

постоянная

где к = -j - коэффициент передачи звена, - -

времени двигателя. Оно полностью совпадает с (4.23).

В качестве второго примера (рис. 4.13, б) приведен электрический генератор постоянного тока, входной величиной которого является напряжение, подводимое к обмотке возбуждения щ, а выходной - напряжение якоря и.

Апериодическими звеньями первого порядка являются также резервуар с газом (рис. 4.13, в), у которого входная величина представляет собой давление перед впускным отверстием, а выходная - давление Р в резервуаре, и нагревательная печь (рис. 4.13, г), у которой входная величина - количество поступающего в единицу времени тепла Q, а выходная - температура, в печи f.

Электрические RC- и LR-цеиж в соответствии со схемами, изображенными на рис. 4.13, д, также представляют собой апериодические звенья первого порядка.

Во всех приведенных примерах дифференциальное уравнение движения совпадает с (4.23).

Переходная функция представляет собой экспоненту (табл. 4.2). Множитель 1 (t) указывает, что экспонента рассматривается, начиная с момента


Рис. 4.14.



t = О, Т. е. для положительного времени. Во многих случаях этот множитель опускается, но указанное обстоятельство необходимо иметь в виду.

Отрезок, отсекаемый на асимптоте касательной, проведенной к кривой в любой точке, равен постоянной времени Т. Чем больше постоянная времени звена, тем дольше длится переходный процесс, т. е. медленнее устанавливается значение = kxi на выходе звена. Строго говоря, экспонента приближается к этому значению асимптотически, т. е. в бесконечности. Практически переходный процесс считается закончившимся через промежуток времени tj = ЗТ. Иногда принимают = (4 -т- 5) Т.

Постоянная времени характеризует инерционность , или инерционное запаздывание , апериодического звена. Выходное значение х = kx-i в апериодическом звене устанавливается только спустя некоторое время (п) после подачи входного воздействия.

Функция веса w (t) может быть найдена дифференцированием переходной функции h {t), и она также приводится в табл. 4.2.

Частотные характеристики приведены в табл. 4.3. Амплитудно-фазовая характеристика для положительных частот имеет вид полуокружности с диаметром, равным коэффициенту передачи к. Величина постоянной времени звена определяет распределение отметок частоты со вдоль кривой. На а. ф. х.

показаны три характерные отметки со=0, сй=фи co = ooj.A. ф. х. для

положительных частот может бьггь дополнена зеркальной полуокружностью для отрицательных частот (показана пунктиром). В результате полная а. ф. X. представляет собой окружность.

Из амплитудной характеристики видно, что колебания малых частот

со < -г) пропускаются данным звеном с отношением амплитуд выходной

и входной величвш, близким к статическому коэффициенту передачи звена к.

Колебания больших частот со > проходят с сильным ослаблением

амплитуды, т. е. плохо пропускаются или практически совсем не пропускаются звеном. Чем меньше постоянная времени Т, т. е. чем меньше инерционность звена, тем более вытянута амплитудная характеристика А (со) вдоль оси частот, или, как говорят, тем шире полоса пропускания частот АсОд у данного звена:

Ао) = 4-(4.25)

Логарифмические частотные характеристики приведены в табл. 4.3. Л. а. X. строится по выражению

- L{)=.20\g\W{j<,)\20\g-=. (4.26)

Наиболее просто, практически без вычислительной работы, строится так называемая асимптотическая л. а. х. Ее построение показано на рис. 4.15. На стандартной сетке проводится вертикальная прямая через точку с часто-

1 тт

той, называемой сопрягающей частотой со = Для частот меньших, чем

сопрягающая, т. е. при со < -у можно пренебречь вторым слагаемьгм под корнем в выражении (4.26). Тогда левее сопрягающей частоты (рис. 4.15) можно заменить (4.26) приближенным выражением L (со) л; 20 Ig А; при

со <;j, которому соответствует прямая линия, параллельная оси частот (прямая аЪ) и являющаяся первой асимптотой.



Для частот больших, чем сопрягающая {( > y) выражении (4.26)

можно пренебречь под корнем единицей по сравнению с соГ. Тогда вместо (4.26) будем иметь приближенное значение

L(co)201g-A. (присо>4-),

которому соответствует, согласно § 4.4, прямая с отрицательным наклоном 20 дб/дек (прямая be), являющаяся второй асимптотой.

Ломаная линия аЬс и называется асимптотической л. а. х. Действительная л. а. X. (показана на рис. 4.15 пунктиром) будет несколько отличаться от асимптотической, причем наибольшее отклонение будет в точке Ь. Оно

равно приблизительно 3 дб, так как


()=201g = 201g/c-3,03 дб.

что в лвшейном масштабе соответствует отклонению в /2 раз. На всем остальном протяжении влево и вправо от сопрягающей частоты действительная л. а. X. будет отличаться от асимптотической менее чем на 3 дб. Поэтому во многих практических расчетах достаточно ограничиться построением асимптотической л. а. х.

На том же рис. 4.15 показана логарифмическая фазовая характеристика. Характерными ее особенностями являются сдвиг по фазе if = -45° при сопрягающей частоте (так как arctg соГ = arctg 1 = 45°) и симметрия л. ф. х. относительно сопрягающей частоты.

3. Апериодическое звено второго порядка. Дифференциальное уравнение звена имеет вид

Рис. 4.15.

т2 2 2

- кзсщ

(4.27)

dt dt

При этом корни характеристического уравнения !Гр -Ь Тр -f- 1 = О должны быть вещественными, что будет выполняться при условии Ti!2T2-В операторной записи уравнение (4.27) приобретает вид

{Т1р + + 1) = fexi. (4.28)

Левая часть последнего выражения разлЕагается на множители:

{Т,р + 1) {Т + 1) 2 = кх, (4.29)

Гз.4 = -

Передаточная функция звена

(Р)- (1 + Гзр)(1-ЬГ4Р)

(4.30)

Апериодическое звено второго порядка эквивалентно двум апериодическим звеньям первого порядка, включенным последовательно друг за другом, с общим коэффициентом передачи h и постоянными времени и Т.

Примеры апериодических звеньев второго порядка приведены на рис. 4.16. Рассмотрим подробно случай двигателя постоянного тока (рис. 4.16, а). При отсутствии момента нагрузки на валу и при учете переход-



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 [ 22 ] 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254