ной в дискретные моменты времени, может соответствовать бесконечное множество непрерывных функций. Это показано на рис. 15.6. Непрерывные функции, совпадающие с заданными дискретами, называются огибающими решетчатой функции. Так, например, огибающая может быть изображена в виде ступенчатой функции (кривая 3 на рис. 15.6).

Введем также понятие основной огибаюией функции. Под основной огибающей будем понимать непрерывную функцию, совпадающую с заданными дискретами, которая может быть получена как результат рещения дифферен-пдального уравнения, порядок которого наименьший по сравнению с другими возможными огибающими, а для периодических решетчатых функций.

f[nJ]

Рис. 15.6.

(п-1) п {п+1) Рис. 15.7.

кроме того, выполняется требование минимальности значений частот гармоник. Так, например, решетчатой функции е могут соответствовать огибающие е~ и (cos о* -j- р sin соц), где о = ЪлкТ~, к - целое число, р - любое число. Однако первая из них (основная огибющая) может бьггь получена в результате решения дифференциального уравнения первого порядка, тогда как вторая - в результате решения дифференциального уравнения второго порядка.

Аналогом первой производной непрерывной функции для решетчатой функции является либо первая прямая разность

А/ [п] = / [и -Ь 1] - / [п],

либо первая обратная разность

V/ In] =f[n]~f[n- 1].

(15.2)

(15.3)

Обе эти разности показаны на рис. 15.7. Разности могут быть определены и для смещенных решетчатых функций / [п, е]. Однако формулы для s =0 и 8 = О здесь и далее оказываются идентичными, вследствие чего в дальнейшем изложении принято е = 0.

Прямая разность определяется в момент времени t = пТ ло будущему значению решетчатой функции при t = (п + 1) Т. Это можно сделать в тех случаях, когда будущее значение известно.

Обратная разность определяется для момента времени t = пТ по прошлому значению решетчатой функции в момент времени t = (п - I) Т.

Аналогом второй производной непрерывной функции для решетчатой функции служат вторые разности: прямая

Д2/ In] = А/ [п -Ь 1] - Д/ Ы = / [п -Ь 2] - 2/ 4-1] -Ь / [п\ и обратная

V2/ In] = V/ [п\ -Vf[n-l]=f \п] -2f[n-l\-\-f[n- 2].

(15.4)

(15.5)

434 йимпульсныЕ системы [гл. 15

Приведенные выше замечания относительно возможности вычисления прямой и обратной разностей сохраняют свою силу и здесь.

Могут определяться и высшие прямая и обратная разности. Для вычисления к-й разности возможно использование рекуррентных соотношений

Д/ [п] = Д-!/ [п + 1]- Д-V Ш, (15.6)

V/ Ы = y-f In] - V*-V ]п - 1] (15.7)

или формул общего вида

/fln]=j](-iyClf[n + k-v], (15.8)

vVN= S (-l)Q[n-v], (15.9)

Где биномиальные коэффициенты (число сочетаний)

Обратные разности обладают важной особенностью. Если решетчатая функция определена только для положительных значений аргумента, т. е. f{n] = 0 при п < О, то, как следует из (15.9), в точке п = О к-я разность

V / [0] = / [0] (15.11)

для любого целого положительного к.

Аналогами интеграла непрерывной функции в пределах от О до Z для решетчатой функции являются неполная сумма

-1 п

(т[п]= S /[/?г]= 2 /[n-v] (15.12)

nt=0 v=l

и полная сумма

сТо[п] = оМЧ-/[п]= 2 /1т] =2 f\n--]. (15.13)

Отличие (15.13) от (15.12) заключается в том, что значение / [п\ в момент времени t = пТ также участвует в формировании результата.

Разностные уравнения. Б качестве аналогов дифференциальных уравнений можно рассматривать разностные уравнения {уравнения в конечных разностях). При использовании прямых разностей неоднородные линейные разстные уравнения имеют вид

fooA y [п] + biA-y Ы + . .. + Ьу [п] = / Ы, (15.14)

где / [п] - заданная, а у [п] - искомая решетчатые функции. При / [п] = О уравнение (15.14) становится однородным разностным уравнением, решением которого будет у [п].

При использовании (15.8) разностное уравнение (15.14) можно записать в другом виде:

ау [п + т] + ау [п + т - I] + . . . + ау [п] = / [п]. (15.15)

Коэффициенты этого уравнения определяются из зависимости

2 (-1) Хс-;, (15.16)

где биномиальные коэффициенты

(та-у)! ,лг иуу

- ~ (k-v)\(т-к)\ (io.il}

При использовании обратных разностей уравнение в конечных разностях будет

boV y [п] + foiV -V Ы] + ... + ЪтУ Ы = / [п\. (15.18)

С учетом формулы (15.9) последнее выражение приобретает вид

ад п] -\- ау [п - 1] -\- . . . + ttjy [п - т] = f [п\. (15.19)

Коэффициенты последнего уравнения определяются выражениями

аш-h = S (- 1) -ЧС~Д, (15.20),

, Cm~v = (,J,(l,)r (15.21Р

Разностные уравнения можно рассматривать как рекуррентные соотношения, позволяющие вычислять значения у [п + т] при n = О, 1, 2, . . . для заданных начальных значений у[0], у [1], . . ., у [т - 1} и уравнения вида (15.15) или значения г/[п] при п = О, 1, 2, . . . для заданных начальных значений у [п - т], у In - т -j- 1], . . ., у In - 1] и уравнения вида (15.19). Такие вычисления легко машинизируются, а также не представляют никаких принципиальных трудностей и при ручном счете (кроме, конечно, затрат времени) даже в случае, когда коэффициенты разностных уравнений aj (i = О 1, . . ., т)с течением времени изменяются. Это отличает разностные уравнения от их непрерывных аналогов - дифференциальных уравнений.

Общее решение однородного разностного уравнения при некратных корнях характеристического уравнения может быть записано следующим; образом:

у [п] = Cz + Cz + ... + CrA, (15.22).

где Z(i = 1, 2, . . ., /?г) - корни характеристического уравнения

aoz -1- aiz -! + . . . + а = О, (15.23)

aCi - произвольные постоянные.

Из (15.22), в частности, вытекает условие того, чтобы свободное движение системы, описываемой разностным уравнением (15.15), было бы затухающим (условие устойчивости):

I < 1 (i = 1, 2, . . ., т). (15.24>

Для получения возможности исследования решений разностных уравнений в общем виде широко используются дискретное преобразование Лапласа -преобразование, 1г;-преобразование, а также частотные методы, которые-будут изложены ниже.

§ 15.2. Использование -преобразования

Для решетчатых функций времени может быть введено понятие дискретного преобразования Лапласа, определяемое формулой

* (Р) = S / {п\ е-Р . (15.25)