§ 11.6] КАНОНИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ 325

функций:

x{t) = xXt) + l]V,x,{t). (11.88)

Здесь Fv - случайные взаимно некоррелированные коэффициенты с нулевым математическим ожиданием.

Представление случайной функции в виде суммы ее математического ожидания и взаимно некоррелированных элементарных случайных функций называется каноническим разложением. Случайные коэффициенты носят название коэффициентов канонического разложения, а функции х (t) - координатных функций.

При использовании канонического разложения значительно упрощается выполнение различных операций над случайньши функциями (дифференцирование, интегрирование, решение линейных дифференциальных уравнений и т. п.). Так, например, производная от (11.88) будет

Аналогичным образом интегрирование (11.88) дает

J x{t)dt= J x(t) + 2 J it) dt. (11.90)

Для нахождения канонического разложения случайных функций существуют различные методы [108].

Из (11.88) может быть найдена корреляционная функция

R {t, ti) =Mlx (t) X (ti)] = [X {t)r + S Dx (t) x (ti). (11.91)

Здесь Dy, = M [Fvl - дисперсии коэффициентов канонического разложения. Таким образом, корреляционная функция может быть выражена через те же координатные функции.

Для стационарной случайной функции, заданной в интервале - Г < < < Т, разность г = ti - t изменяется в интервале -2Т < т < 2Г и разложение корреляционной функции может быть задано в виде ряда Фурье:

оо оо

R{%)= 2 dJ = {x)+2 2Z)cosa),T, (11.92)-

V=: -оо V=l

где V - целые числа.

Этому выражению соответстБует каноническое разложение самой случайной функции

оо оо

ж(г) = ж+ S УУ = ж--S (vCosfo-fYvSinu)), (11.93)

V=: -оо V=0

где Zv и уV - взаимно некоррелированные случайные величины с нулевьши математическими ожиданиями и с одинаковыми дисперсиями 0,5/)- В разложении (11.92) должны отсутствовать нечетные гармоники. Тогда ряд (11.93) будет содержать только четные гармоники, что соответствует периоду 2Т (интервалу - Г < г< Г).

Если разность между двумя соседними гармониками Асо = tOv+i -

- (Ov = устремить к нулю, что соответствует Г оо, то формулу (11.92)

можно представить в виде

оо оо

R (т) = lim У. ev Асо = ( ,S (со) е dco. (11.94)

V=: -оо - ОО .

Здесь введена спектральная плотность стационарного процесса (см, § 11.5)

S (со) = lim !pL= lim 4TD,

являющаяся изображением Фурье корреляционной функции R (т).

§ 11.7. Прохождение случайного сигнала через линейную систему

Рассмотрим линейную систему (рис. 11.25) с передаточной функцией W (р) ж функцией веса w (f). Пусть на входе действует случайный сигнал Xl (t) с корреляционной функцией i?i (t, ti).

Выходной сигнал Xz {t) на основании формулы

свертки (7.44)

Х2 (i) = j w (т) Xl {t~x) dx= w (t~x) Xl (t) dx.

Рис. 11.25.

о о

Рассматривая в этой формуле математические ожидания, имеем

М [х it)] = жа (i) = J W (i - т) Xl (т) dx.

(11.95)

Для получения корреляционной функции на выходе запишем исходную формулу для центрированных значений х1 (t) = Xi (t) - xi (t) и xl (t) = = x (t) - x (t) для двух моментов времени:

oi{t)=\w()afi{t-ri)d.

о ti

xl Hi) = J w (Я,) xJ {ti - Ц dX.

(11.96)

После перемножения получим ;

2 (О 4 (ti) = J J w (т)) w {Ц a; {t - t)) ж? (ti - Ц Jt) dX. (11.97)

0 0

Далее, переходя к математическому ожиданию, можно найти корреляционную функцию

RI [t, ii) = J ы> (т)) dr\m(k)Rl{t-t],ti-K)dk. (11.98)

Для определения дисперсии на выходе Dz (t) в формуле (11.98) следует положить t = ti. Тогда

А (t) = R° (t, i) = J w (T)) dT) J w (X) i?J (i -T], t - X) dk. (11.99)

в случае использования канонического разложения случайной функции

Xl (t) = Xl (t) + S Vx (t) (11.100)

выходная величина] может быть представлена в виде

Ж2(г) = х2 {t) + vy {t).

§ 11.71 ПРОХОЖДЕНИЕ СЛУЧАЙНОГО СИГНАЛА ЧЕРЕЗ СИСТЕМУ 327

где Xz (t) определяется формулой (11.95), а координатные функции

{t) = w{t~т) х(т) dx. (И.102)

Корреляционная функция выходного сигнала

Щ (t, h) = S D,y, {t) у, (ti), (11.103)

a дисперсия

Dz{t) = DAyr{t)V. {11.104)

Для нахождения математического ожидания Xz {t) и координатных. функций уч {t) в соответствии; с выражениями (11.95) и (11.102) могут исполь-зoвaтыя различные методы построения переходных процессов (см. главу 7).

В случае, когда на входе (рис. 11.25) действует случайный стационарный процесс, корреляционная функция R° {t, ti) = i?J (т) зависит только от сдвига X = ti - t. Однако на выходе линейной системы процесс некоторое время после включения будет устанавливаться и не будет стационарным. Корреляционная функция на выходе может быть получена из обн],его выражения (11.98):

К{t, ti)=jw(т)) dT) j W{%) R{x+ dK (11.105)

a дисперсия - из (11.99):

Dzit)= w(Ti)dT] J w{K)R(k-n)d%. (11.106)

Если рассматриваемая система устойчива, то i? {t, и Dz {t) стремятся к некоторым пределам, которые определяют стационарный процесс на выходе. Они могут быть найдены из (11.105) и (11.106), если положить too и t-oo.

Тогда при ti - t = X

оо оо

Rl{x)=\w{-(\)d-(\w{X)Rl{x~r\ + k)dk, (11.107)

оо оо

Dz = Rl (0) (т)) dT) J w {Ц Rl - njdK. (11.108)

Пусть, например, на входе интегрирующего звена с передаточной функцией W (р) = к/р и функцией веса w (t) = к действует белый шум с корреляционной функцией Ri (т) =i?i (t) = N8 (т). Тогда в соответствии 1(11.106) дисперсия на выходе будет

t t t

\Dl{t) = J Л;dTi J (?v- т)) d?. = J dT).Ж = кЩи\

0 . 0] 0

т. е. дисперсия растет пропорционально времени. Нетрудно видеть, что D (оо) оо, так как звено не является устойчивьш, а оно находится на границе устойчивости (нейтрально-устойчиво).