Главная ->  Логарифмическое определение устойчивости 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 [ 160 ] 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254

На рис. 16.11, а показаны два возможных варианта (кривые 1 ш 2) протекания такого процесса. Легко видеть, что на фазовой плоскости (ж, у)

это изобразится кривыми ffpj; 1 ш 2 соответственно

(рис. 16.11, б), так как в первом варианте все время ж > О и z/ < О, а во втором варианте знаки х шу меняются по одному разу. Границы областей 1 и 2 представляют собой прямые у = -ах и у=-ах, получающиеся из уравнений (16.27) соответственно при ttg = О и при = О (обращение одного из корней в нуль).

В отличие от прежнего здесь все фазовые траектории вливаются непосредственно в начало координат О фазовой плоскости. Однако изображающая точка М не попадает в начало координат в конечное время, а приближается асимптотически.

Итак, затухающим апериодическим процессам в системе отвечают фазовые траектории, вливающиеся в начало координат.

Случай 5. Этот случай (вещественные положительные корни) соответствует также апериодическому процессу, определяемому теми же уравнениями (16.27), но при tt] < О Е 2 < 0. Аналогично предыдущему получаем кривые процесса и фазовые траектории, изображенные на рис. 16.12.


Рис. 16.11.


Рис. 16.12.

Случай 6. В этом случае (вещественные корни разных знаков) также имеет место апериодический процесс (16.27) (рис. 16.13, а), гдеа и имеют разные знаки, но картина фазовых траекторий здесь иная. Так как <; О, то введем обозначение а® = -а, причем для простоты построений рас-



§ 16.1]

ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ!

смотрим случай = О, что соответствует согласно (16.23) уравнению системы - ах = О и согласно (16.25) - уравнению фазовых траекторий

(16.28)

= 1,

Интегрирование последних, аналогично случаю 1, дает - (С)

т. е. семейство гипербол, изображенное на рис. 16.13, б.

Направления движения изображающей точки М по фазовым траекториям, показанные на рис. 16.13, б, легко определяются в каждой четверти ПЛОСКОСТИ ПО знаку dyldx (16.28).

Аналогичная картина фазовых траекторий получится в данном случае и при аф{).

Итак, расходящимся апериодическим процессам в системе отвечают фазовые траектории типа рис. 16.12, б или типа рис. 16.13, б, причем

--- t


Рис. 16.13.

изображающая точка, двигаясь по ним, в конечном итоге удаляется от начала координат.

Особые точки. В точках, которые соответствуют установившемуся состоянию, получаем согласно (16.25) неопределенное выражение

= - 1 -йг-д

т. е. неопределенное направление касательных к интегральньш кривым (фазовым траекториям). Такие точки называются особьши точками, причем существует следующая классификация для них:

а) особые точки типа точки О на рис. 16.8, б называются центрами,

б) особые точки типа рис. 16.9, б называются устойчивыми фокусами,

в) особые точки типа рис. 16.10, б называются неустойчивыми фокусами,

г) особые точки типа рис. 16.11, б называются устойчивыми узлами,

д) особые точки Т1ша рис. 16.12, б называются неустойчивьши узлами,

е) особые точки типа рис. 16.13, б называются седлами (седло всегда неустойчиво).

Особые линии для нелинейных систем. Реальные системы автоматического регулирования можно считать линейными чаще всего в предположении малости отклонений переменных от их значений в определенном установившемся состоянии.

За пределами указанной области вследствие значительного отклонения характеристик от линейных картина фазовых траекторий может сильно измениться и стать качественно иной.





Рис. 16.14.

линейная автоматическая система как бы превращается в устойчивую нелинейную автоколебательную систему (система генерирует устойчивые ко-.пебания определешюй формы).

Картина фазовых траекторий для такой системы изображена на рис. 16.14, а. Здесь вблизи начала координат получаются спирали, как в неустойчивой линейной системе (рис. 16.10, б), но далее все они расходятся не до бесконечности, а приближаются асимптотически к некоторому замкнутому контуру ограниченных размеров, как показано на рис. 16.14, а. К нему же приближаются и все спирали, находящиеся вне контура. Это

В частности, если по линейной теории система оказывается неустойчивой и процесс начинает расходиться, то может оказаться, что из-за фактической нелинейности характеристик он не будет расходящимся неограниченно. Амплитуда расходящихся колебаний может увеличиваться только до определенного значения, а затем оставаться постоянной, т. е. неустойчивая



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 [ 160 ] 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254