Здесь интеграл будет всегда положительньш, так как функция / (xg) нечетная (см. условие (17.54)). Поэтому V есть знакоопределенная положительная функция, если у > 1, обращающаяся в нуль на отрезке установившегося

Рис. 17.13.

процесса АВ (рис. 17.13). Поверхности V (х, х, Жд) = С окружают этот отрезок (рис. 17.13, б), стягиваясь к нему с уменьшением С. Составим производную от функции Ляпунова:

dV dV dxx , dV &2 dV dxs

dxf dx dr dx dr

причем частные производные возьмем из (17.67), а производные по безразмерному времени - из уравнений системы (17.63). Тогда

W=- (y-l)xl+{y-l)xj {Xs)-yxj{x,)+f{x,)l(y-l)xi+yx2~rf (Жз)].

Представим это в виде

W=~{y-l)lf (жз) - xj (г - Y + 1) [(/ (жз)]. (17.68)

Эта функция W знакопостоянная, так как она не включает в себя координату Ж2, а потому обращается в нуль не только на отрезке установившегося процесса АВ, а на всей полосе шириной АВ в плоскости Ж2Ж3 (рис. 17.13, в). Но вне этой полосы согласно (17.68) она будет всюду отрицательной при

г > Y - 1, ести 7 > 1. (17.69)

Поэтому согласно теореме Ляпунова об устойчивости выражение (17.69) является достаточным условием устойчивости рассматриваемой нелинейной системы самолета с курсовым автопилотом (при любой кривизне и любом наклоне характеристики двигателя, имеющей вид рис. 17.12, б).

Траектория изображающей точки М будет пересекать поверхности

V = С извне внутрь везде, где W = <; 0. Нужно только проверить,.

не застрянет ли изображающая точка М там, где W обращается в нуль (помимо отрезка установившегося процесса АВ). В данном случае речь идет о том, не останется ли изображающая точка на полосе (показанной на рис. 17.13, в), где TF = О, если она случайно на нее попадет.

Для решения этого вопроса найдем проекции скорости изображающей

dx dxs

ТОЧКИ М-, , полосы. Поскольку там

, когда эта точка находится в любом месте указанной

Ж1 = 0, жз<-

то искомые проекции скорости согласно (17.63) будут

-nll + ЙП22 + + 717171,

Таким образом, если изображаюгцая точка М попадет на указанную полосу вне отрезка АВ (рис. 17.13, е), то она не останется в ней, а пройдет ее поперек по прямой, параллельной оси х, с постоянной скоростью, равной ух.2, как показано стрелками на рис. 17.13, в. Пройдя полосу, изображающая точка снова будет пересекать поверхности V = С извне внутрь, т. е. данная система регулирования будет устойчивой.

Случай 0<С7<;1. Для этого случая возьмем функцию Ляпунова в виде

V = -4 + 1x1 + ] f{xs)dxs.

Производная от нее будет

W = =-{i-y)xl-r[f{xs)]\

Отсюда аналогично предьщущему приходим к достаточному условию устойчивости системы в виде

г > О, если О < 7 < 1. (17.70>

Общих! вывод. Полученные в данной задаче достаточные условия устойчивости (17.69) и (17.70) после подстановки выражений и г через параметры системы (17.64) прхшимают ызд соответственно

1ioc>{Tik-hpi)hi., если hp<.Tik, кос>0, если kp,s,>Tik. .

Первое из этих условий устойчивости говорит о том, что передаточное число обратной связи надо сделать достаточно большим, если производная pip введена в закон регулирования недостаточно интенсивно. Из второго же условия устойчивости следует, что система будет устойчива при любой, обратной связи, если передаточное число по производной достаточно велико.

Как В1ЗДИМ, данные условия устойчивости не зависят от формы характеристики двигателя (рис. 17.12, б), т. е. они одинаковы при любой кривизне, любом наклоне и любой зоне застоя (в том числе и при однозначной релейной характеристике двигателя постоянной скорости, а также и при линейной характеристике). Такие условия называются условиями абсолютной устойчивости. Они гарантируют, что при их вьшолнении система будет наверняка устойчива при любой нелинейности с ограничением лишь (17.54). В действительности же система может быть устойчивой и в некоторой области за пределами этих условий устойчивости при конкретно заданной форме нелинейности (см. гл. 18).

Пример учета нелинейности измерителя регулируемой величины. На основании вышеизложенных теорем Ляпунова М. А. Айзерман показал, что если уравнение системы содержит нелинейность

= aiiXi -Ь 122 4- + 17171 + F {Xk),

dx

- 211 + (222 + + hnXjl, I rjy

гр,е F {X]j) - однозначная нелинейная функция, обращающаяся в нуль при Ж/j = О, а к - любое целое число из 1, 2, . . ., ?г, то для устойчивости системы достаточно, чтобы для линеаризованной системы (17.71) при замене F (ж) = ах, можно было построить функцию Ляпунова F, производная

от которой W является знакоопределенной отрицательной функцией при любом значении а в интервале 1 < й < если кривая F (Xfi) лежит между прямыми F = aXk и F = aXk, как изображено, например, на рис. 17.14, а.

Пусть, например, в прежней системе самолета с курсовым автопилотом (рис.17.12,й) уравнение регулируемого объекта имеет вид (17.55), привод руля имеет линейную характеристику p8 = ksU,no реостат при чувствительном элементе / (измерителе регулируемой величины ф) имеет нелинейную характеристику, в результате чего получается нелинейное уравнение автопилота

(17.72)

Рис. 17.14.

р8 = F (ф) + kpip\p - кос8,

а F (ф) - нелинейная функция, например, вида рис. 17.14, б. Введем обозначения переменных:

х-г = -б, 2 = ф, Хд= рф.

Тогда уравнения автопилота (17.72) и самолета (17.55) примут вид (17.71), а именно:

pxi = - kocXi - крцХг - F (жа).

РХ2, = Хд,

(17.73)

pX3~Jr-Xi~

Зададимся] функцией V в виде

У = -g bixl + -g bxl + Y Ъзха + bixix + bisXiXa -f- базгз,

тде все щесть коэффициентов b неизвестны. Потребуем, чтобы функция

ax-P + SPs (17.74)

щри фиксированном значении F (х) = ах в уравнениях (17.73) имела вид

Wo = - {xl + xl + х. (17.75)

Тогда путем приравнивания соответствующих коэффхщиеитов выражений (17.74) и (17.75) можно найти все щесть величин b из системы шести .алгебраических уравнений. Здесь приводится результат решения только для трех коэффхщиентов, которые понадобятся в дальнейшем, а именно:

fci =

Ьк =

(17.76)